WikiSort.ru - Не сортированное

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Определение

Формально компактификация пространства ${\displaystyle X}$ определяется как пара ${\displaystyle (Y,\;f)}$ , где ${\displaystyle Y}$ компактно, ${\displaystyle f:X\to Y}$ вложение такое, что ${\displaystyle f(X)}$ плотно в ${\displaystyle Y}$ .

Примеры

• Вещественная проективная плоскость является компактификацией Евклидовой плоскости, для стандартного вложения.

Одноточечная компактификация

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ и открытыми множествами в ${\displaystyle Y}$ считаются все открытые множества ${\displaystyle X}$ , а также множества вида ${\displaystyle O\cup \{\infty \}}$ , где ${\displaystyle O\subseteq X}$ имеет компактное (в ${\displaystyle X}$ ) дополнение. ${\displaystyle f}$ берётся как естественное вложение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ . ${\displaystyle (Y,\;f)}$ тогда компактификация, причём ${\displaystyle Y}$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ хаусдорфово и локально компактно.

Компактификация Стоуна — Чеха

На компактификациях некоторого фиксированного пространства ${\displaystyle X}$ можно ввести частичный порядок. Положим ${\displaystyle f_{1}\leqslant f_{2}}$ для двух компактификаций ${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$ , ${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$ , если существует непрерывное отображение ${\displaystyle g:Y_{2}\to Y_{1}}$ такое, что ${\displaystyle gf_{2}=f_{1}}$ . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха^[1] и обозначается ${\displaystyle \beta X}$ . Для того, чтобы у пространства ${\displaystyle X}$ существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle X}$ удовлетворяло аксиоме отделимости ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ , то есть было вполне регулярным.

Примечания