WikiSort.ru - Не сортированное

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства ${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{3}}}$ , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть ${\displaystyle l}$  — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

${\displaystyle l\colon \left\{{\begin{aligned}&x=x\left(t\right),\\&y=y\left(t\right),\\&z=z\left(t\right),\\\end{aligned}}\right.\qquad t\in \left[a,b\right],}$

где ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ — отрезок параметризации: рассматриваем часть кривой.

Пусть ${\displaystyle \theta =\left\{{{t}_{k}}\right\}_{k=0}^{n}}$  — разбиение отрезка параметризации ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , причем ${\displaystyle a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b}$ .

Зададим разбиение кривой ${\displaystyle M=\left\{{{M}_{k}}\right\}_{k=0}^{n}:\forall k={\overline {0,n}}\ {{M}_{k}}=\left(x\left({{t}_{k}}\right),y\left({{t}_{k}}\right),z\left({{t}_{k}}\right)\right)\in l}$ .

За ${\displaystyle \ {{l}_{k}}}$ обозначим часть кривой от точки ${\displaystyle \ {{M}_{k-1}}}$ до точки ${\displaystyle \ {{M}_{k}}}$ , ${\displaystyle k={\overline {1,n}}}$ .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации ${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle \Delta \theta ={\underset {k={\overline {1,n}}}{\mathop {\max } }}\,\left\{{{t}_{k}}-{{t}_{k-1}}\right\}}$ .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации ${\displaystyle l}$ : ${\displaystyle \xi =\left\{{{\xi }_{k}}\right\}_{k=1}^{n}:\forall k={\overline {1,n}}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[{{t}_{k-1}},{{t}_{k}}\right]}$ .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой ${\displaystyle N=\left\{{{N}_{k}}\right\}_{k=0}^{n}:\forall k={\overline {0,n}}\ {{N}_{k}}=\left(x\left({{\xi }_{k}}\right),y\left({{\xi }_{k}}\right),z\left({{\xi }_{k}}\right)\right)\in {{l}_{k}}}$ .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой ${\displaystyle l}$ : ${\displaystyle f\left(x,y,z\right)}$ , ${\displaystyle P\left(x,y,z\right)}$ , ${\displaystyle Q\left(x,y,z\right)}$ , ${\displaystyle R\left(x,y,z\right)}$ .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

   ${\displaystyle \sigma \left(f,M,N\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{f\left({{N}_{k}}\right)\left|{{l}_{k}}\right|}}$ .

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

   ${\displaystyle {{\sigma }_{1}}\left(P,M,N\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{P\left({{N}_{k}}\right)\left(x\left({{t}_{k}}\right)-x\left({{t}_{k-1}}\right)\right)}}$ ,

   ${\displaystyle {{\sigma }_{2}}\left(Q,M,N\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{Q\left({{N}_{k}}\right)\left(y\left({{t}_{k}}\right)-y\left({{t}_{k-1}}\right)\right)}}$ ,

   ${\displaystyle {{\sigma }_{3}}\left(R,M,N\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{R\left({{N}_{k}}\right)\left(z\left({{t}_{k}}\right)-z\left({{t}_{k-1}}\right)\right)}}$ .

Если ${\displaystyle \exists {\underset {\Delta \theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\sigma \left(f,M,N\right)=I}$ , то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой ${\displaystyle l}$ , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции ${\displaystyle f}$ по кривой ${\displaystyle l}$ и обозначают ${\displaystyle \int \limits _{l}{f\left(x,y,z\right)dl}=I}$ . Здесь ${\displaystyle \ dl}$  — дифференциал кривой.

Если ${\displaystyle \exists {\underset {\Delta \theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,{{\sigma }_{1}}\left(P,M,N\right)={{I}_{1}}}$ , ${\displaystyle \exists {\underset {\Delta \theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,{{\sigma }_{2}}\left(Q,M,N\right)={{I}_{2}}}$ , ${\displaystyle \exists {\underset {\Delta \theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,{{\sigma }_{3}}\left(R,M,N\right)={{I}_{3}}}$ , то говорят, что функции ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle R}$ интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой ${\displaystyle l}$ , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle R}$ по кривой ${\displaystyle l}$ и обозначают

${\displaystyle \int \limits _{l}{P\left(x,y,z\right)dx}={{I}_{1}}}$

${\displaystyle \int \limits _{l}{Q\left(x,y,z\right)dy}={{I}_{2}}}$

${\displaystyle \int \limits _{l}{R\left(x,y,z\right)dz}={{I}_{3}}}$

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle R}$ также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции ${\displaystyle {\vec {a}}\left(x,y,z\right)=\left\{P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\right\}}$ и обозначают:

${\displaystyle \int \limits _{l}{P\left(x,y,z\right)dx+Q\left(x,y,z\right)dy+R\left(x,y,z\right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}={\tilde {I}}}$ .

Если кривая ${\displaystyle l}$ замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка ${\displaystyle \int {}}$ принято писать ${\displaystyle \oint {}}$ .

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл второго рода

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть ${\displaystyle l}$  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), ${\displaystyle {\vec {\tau }}\left(x,y,z\right)=\left\{\cos \left({\widehat {{\vec {i}},{\vec {\tau }}}}\right),\cos \left({\widehat {{\vec {j}},{\vec {\tau }}}}\right),\cos \left({\widehat {{\vec {k}},{\vec {\tau }}}}\right)\right\}}$  — единичный вектор, касательный к кривой ${\displaystyle l}$ . Пусть также координаты вектор-функции ${\displaystyle {\vec {a}}\left(x,y,z\right)=\left\{P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\right\}}$ определены и интегрируемы вдоль кривой ${\displaystyle l}$ в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int \limits _{l}{\left({\vec {a}},{\vec {\tau }}\right)dl}}$

${\displaystyle \int \limits _{l}{P\left(x,y,z\right)dx}=\int \limits _{l}{P\left(x,y,z\right)}\cos \left({\widehat {{\vec {i}},{\vec {\tau }}}}\right)dl}$

${\displaystyle \int \limits _{l}{Q\left(x,y,z\right)dy}=\int \limits _{l}{Q\left(x,y,z\right)}\cos \left({\widehat {{\vec {j}},{\vec {\tau }}}}\right)dl}$

${\displaystyle \int \limits _{l}{R\left(x,y,z\right)dz}=\int \limits _{l}{R\left(x,y,z\right)}\cos \left({\widehat {{\vec {k}},{\vec {\tau }}}}\right)dl}$

Механические приложения

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы ${\displaystyle \mathbf {F} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle A=\int \limits _{l}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz}$

• Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом

${\displaystyle m=\int \limits _{l}\mu (x,y,z)\,ds}$

• Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:

${\displaystyle x_{c}={\frac {1}{m}}\int \limits _{l}x\mu (x,y,z)\,ds}$ ,

${\displaystyle y_{c}={\frac {1}{m}}\int \limits _{l}y\mu (x,y,z)\,ds}$ ,

${\displaystyle z_{c}={\frac {1}{m}}\int \limits _{l}z\mu (x,y,z)\,ds}$ ,

где m — масса кривой l

• Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

${\displaystyle I_{x}=\int \limits _{l}(y^{2}+z^{2})\mu (x,y,z)\,ds}$ ,

${\displaystyle I_{y}=\int \limits _{l}(x^{2}+z^{2})\mu (x,y,z)\,ds}$ ,

${\displaystyle I_{z}=\int \limits _{l}(x^{2}+y^{2})\mu (x,y,z)\,ds}$

• Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma m_{0}\int \limits _{l}{\frac {\mu (x,y,z)}{r^{3}}}\,ds}$ ,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m₀ — масса точки с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения,

${\displaystyle \mathbf {r} =(x-x_{0})\mathbf {i} +(y-y_{0})\mathbf {j} +(z-z_{0})\mathbf {k} ,\quad {\boldsymbol {r}}=\left|\mathbf {r} \right|}$

См. также

• Комплексный криволинейный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.