WikiSort.ru - Не сортированное

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью ${\displaystyle \nabla }$ геодезическая — это кривая ${\displaystyle \gamma (t)}$ , удовлетворяющая уравнению

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.}$

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$ где ${\displaystyle x^{\mu }(t)}$ — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:

${\displaystyle E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt}$ .

Здесь ${\displaystyle \gamma (t)}$  — кривая в пространстве, ${\displaystyle g}$  — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)

Это условие эквивалентно тому, что:

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

вдоль всей кривой, где ${\displaystyle \nabla }$ обозначает связность Леви-Чивиты.