WikiSort.ru - Не сортированное

Приближённая формула для отклонения света

В пределе массы частицы m, стремящейся к нулю (или, эквивалентно, ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$ ), уравнение орбиты переходит в

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}.}$

Разлагая это выражение по степеням отношения r_s/r, в первом приближении получаем отклонение δφ безмассовой частицы при пролёте мимо гравитирующего центра:

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

Константу b здесь можно интерпретировать как прицельный параметр — расстояние наибольшего приближения. Приближение, использованное при выводе этой формулы, достаточно точное для большинства практических приложений, включая измерения гравитационного линзирования. Для света, проходящего вблизи солнечной поверхности, отклонение составляет около 1,75 угловой секунды.

Связь с классической механикой и прецессия эллиптических орбит

Уравнения движения частицы в поле Шварцшильда

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}}$

можно переписать, используя определение гравитационного радиуса r_s:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}$

что эквивалентно движению нерелятивистской частицы с энергией ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}}$ в одномерном эффективном потенциале

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}.}$

Первые два члена соответствуют известным классическим: гравитационному потенциалу притяжения Ньютона и центробежному потенциалу отталкивания, и только третий член не имеет аналога в классической задаче Кеплера. Как показано ниже и в другой статье, такой член приводит к прецессии эллиптических орбит на угол δφ за каждый оборот

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

где A — большая полуось орбиты, а e — её эксцентриситет.

Третий член имеет характер притяжения и меняет поведение потенциала при малых r — вместо того, чтобы уходить в ${\displaystyle +\infty }$ , препятствуя падению частицы на центр (как это было в классической задаче Кеплера), потенциал уходит на ${\displaystyle -\infty }$ , позволяя частице падать (см. подробнее падение в чёрную дыру).

Круговые орбиты и их усточивость

Эффективный потенциал V можно переписать через параметры длины a и b

${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$

Круговые орбиты возможны при эффективной силе, равной нулю

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0,}$

то есть когда две притягивающие силы — Ньютонова гравитация (первый член) и её релятивистская поправка (третий член) — точно сбалансированы отталкивающей центробежной силой (второй член). Существуют два радиуса, на которых достигается эта компенсация

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right),}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},}$

которые прямо выводятся из квадратного уравнения выше. Внутренний радиус r_inner оказывается неустойчивым при любых значениях a, так как сила притяжения там растёт быстрее, чем сила отталкивания, поэтому любое возмущение приводит к падению частицы на центр. Орбиты внешнего радиуса устойчивы — там релятивистское притяжение невелико, и их характер почти совпадает с траекториями нерелятивистской задачи Кеплера.

Когда a много больше r_s (классический случай), размеры орбит стремятся к

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}},}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}.}$

Подставляя определения a и r_s в r_outer, получаем классическую формулу для частицы на круговой орбите вокруг гравитирующего центра массой M

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}\approx {\frac {GM}{\omega _{\varphi }^{2}}},}$

где ω_φ — орбитальная угловая скорость частицы.

Когда a² стремится к 3r_s² (сверху), внешний и внутренний радиусы смыкаются к

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\rightarrow r_{\mathrm {inner} }\rightarrow 3r_{s}.}$

Решение квадратного уравнения гарантирует, что r_outer всегда больше 3r_s, а r_inner лежит между ³⁄₂ r_s и 3r_s. Круговые орбиты с радиусом меньше ³⁄₂ r_s невозможны. Сама орбита r_inner = ³⁄₂ r_s является предельным случаем для безмассовых частиц, когда ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$ , поэтому сферу этого радиуса иногда называют фотонной сферой.

Прецессия эллиптических орбит

Скорость прецессии орбиты можно вывести из эффективного потенциала V. Малое отклонение по радиусу от орбиты-окружности r=r_outer будет осциллировать с частотой

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Разложение в ряд даёт

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right).}$

Уножение на период обращения T приводит к прецессии на одном обороте

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2},}$

где ω_φT = 2п и использовано определение a. Подставляя r_s, получаем

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}.}$

Используя большую полуось орбиты A и эксцентриситет e, связанные соотношением

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right),}$

мы приходим к наиболее известной формуле прецессии

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}.}$

Качественный характер возможных орбит

Полный качественный анализ возможных орбит в поле Шварцшильда впервые был проведён Ю. Хагихарой в 1931 году.

Траектории в поле Шварцшильда описываются уравнением движения

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}.}$

Если дискриминант ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ больше 0, то кубическое уравнение

${\displaystyle G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0\,}$

имеет три различных действительных корня e₁, e₂ и e₃, которые можно упорядочить по убыванию

${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}.}$

В таком случае решение ${\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}$ является эллиптической функцией с двумя полупериодами, одним чисто действительным

${\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}},}$

и вторым — чисто мнимым

${\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.}$

Оставшийся промежуточный корень определяет комплексный полупериод ω₂ = -ω₁ — ω₃. Эти величины связаны с соответствующими корнями через уравнения ${\displaystyle \wp (\omega _{i})=e_{i}}$ (i= 1, 2, 3). Следовательно, при ${\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}}$ (n — целое число) производная ζ обращается в 0, то есть траектория достигает периастра или апоастра — точки максимального приближения и удаления, соответственно:

${\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {when} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}}$

так как

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right).}$

Качественный характер орбиты зависит от выбора φ₀. Решения с φ₀ = ω₂ соответствуют либо орбитам, колеблющимся от ζ=e₂ до ζ=e₃, либо траекториям, уходящим на бесконечность (ζ=-1/12). Наоборот, решения с φ₀, равным ω₁ или любому другому действительному числу, описывают орбиты, сходящиеся к центру, так как действительное ζ не может быть меньше e₁ и поэтому будет неотвратимо расти до бесконечности.

Из уравнения Гамильтона — Якоби

Преимущество этого вывода состоит в том, что он применим и к движению частиц, и к распространению волн, что легко приводит к выражению для отклонения света в гравитационном поле при использовании принципа Ферма. Основная идея состоит в том, что благодаря гравитационному замедлению времени части волнового фронта, которые находятся ближе к гравитирующей массе, двигаются медленнее чем те, которые находятся дальше, что приводит к искривлению распространения волнового фронта.

В силу общей ковариантности уравнение Гамильтона — Якоби для одной частицы в произвольных координатах можно записать в виде

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.}$

В метрике Шварцшильда это уравнение примет вид

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2},}$

где плоскость отсчёта ${\displaystyle \theta }$ сферической системы координат расположена в плоскости орбиты. Время t и долгота φ — циклические координаты, поэтому решение для функции действия S запишется в виде

${\displaystyle S=-Et+L\varphi +S_{r}(r)\,,}$

где E и L представляют энергию частицы и её угловой момент, соответственно. Уравнение Гамильтона — Якоби приводит к интегральному решению для радиальной части S_r(r)

${\displaystyle S_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.}$

Дифференцируя функцию S обычным образом

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\mathrm {constant} ,}$

приходим к уравнению орбиты, полученному ранее

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}$

Этот подход можно использовать для элегантного вывода скорости прецессии орбиты^[20].

В пределе нулевой массы m (или, что эквивалентно, бесконечного a), радиальная часть действия S становится равной

${\displaystyle S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}},}$

из этого выражения выводится уравнение для отклонения луча света^[20].

Из уравнений Лагранжа

В общей теории относительности свободные частицы с пренебрежимо малой массой m, подчиняясь принципу эквивалентности, двигаются по геодезическим в пространстве-времени, создаваемом тяготеющими массами. Геодезические пространства-времени определяются как кривые, малые вариации которых — при фиксированных начальной и конечной точках — не изменяют их длину s. Это можно выразить математически с помощью вариационного исчисления

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,}$

где τ — собственное время, s=cτ — длина в пространстве-времени, и величина T определена как

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

по аналогии с кинетической энергией. Если производную по собственному времени для краткости обозначить точкой

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }},}$

то T можно записать в виде

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}.}$

Постоянные величины, такие как c или корень квадратный из двух, не влияют на ответ вариационной задачи, и таким образом, перенося вариацию под интеграл, приходим к вариационному принципу Гамильтона

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

Решение вариационной задачи даётся уравнениями Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

Когда они применяются к t и φ, эти уравнения приводят к существованию сохраняющихся величин

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}$

что можно переписать как уравнения для L и E

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

Как показано выше, подстановка этих уравнений в определение метрики Шварцшильда приводит к уравнению орбит.

Из принципа Гамильтона

Интеграл действия для частицы в гравитационном поле имеет вид

${\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq},}$

где τ — собственное время и q — гладкая параметризация мировой линии частицы. Если применить вариационное исчисление, то из этого выражения немедленно следуют уравнения для геодезических. Вычисления можно упростить, если взять вариацию от квадрата подынтегрального выражения. В поле Шварцшильда этот квадрат равен

${\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}.}$

Посчитав вариацию, получим

${\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right].}$

Взяв вариацию только по долготе φ

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}}$

поделим на ${\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$ , чтобы получить вариацию подынтегрального выражения

${\displaystyle c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}.}$

Таким образом

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},}$

и интегрирование по частям приводит к

${\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.}$

Вариация по долготе исчезает в граничных точках и первое слагаемое зануляется. Интеграл можно сделать равным нулю при произвольном выборе δφ только если другие множители под интегралом всегда равны нулю. Таким образом мы приходим к уравнению движения

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.}$

При вариации по времени t получим

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},}$

что после деления на ${\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$ даёт вариацию подынтегрального выражения

${\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}.}$

Отсюда

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}}$

и снова интегрирование по частям приводит к выражению

${\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq},}$

из которого следует уравнение движения

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0.}$

Если проинтегрировать эти уравнения движения и определить постоянные интегрирования, мы снова придём к уравнениям

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

Эти два уравнения для интегралов движения L и E можно совместить в одно, которое будет работать даже для фотона и других безмассовых частиц, для которых собственное время вдоль геодезической равно нулю:

${\displaystyle {\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}$

Излучение гравитационных волн и потеря энергии и момента импульса

Согласно общей теории относительности, два тела, обращающихся друг вокруг друга, испускают гравитационные волны, что приводит к отличию орбит от геодезических, рассчитанных выше. Для планет Солнечной системы этот эффект чрезвычайно мал, но он может играть существенную роль в эволюции тесных двойных звёзд.

Изменение орбит наблюдается в нескольких системах, самой знаменитой из них является двойной пульсар, известный под названием PSR B1913+16, за исследования которого Алан Халс и Джозеф Тейлор получили Нобелевскую премию по физике 1993 года. Две нейтронные звезды в этой системе находятся очень близко друг от друга и совершают оборот за 465 минут. Их орбита представляет собой вытянутый эллипс с эксцентриситетом 0.62 (62 %). Согласно общей теории относительности короткий период обращения и высокий эксцентриситет делает систему прекрасным источником гравитационных волн, что приводит к потерям энергии и уменьшению периода обращения. Наблюдаемые изменения периода на протяжении тридцати лет хорошо согласуются с предсказаниями общей теории относительности с наилучшей достижимой сейчас точностью (около 0,2 % по состоянию на 2009 год). Общая теория относительности предсказывает, что через 300 миллионов лет эта двойная звезда сольётся в одну.

Формула, описывающая потерю энергии и углового момента благодаря гравитационному излучению от двух тел в задаче Кеплера, была получена в 1963 году^[21]. Скорость потери энергии (усреднённая по периоду) задаётся в виде^[22]

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right),}$

где e — эксцентриситет, а a — большая полуось эллиптической орбиты. Угловые скобки в левой части выражения обозначают усреднение по одной орбите. Аналогично для потери углового момента можно записать

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right).}$

Потери энергии и углового момента значительно возрастают, если эксцентриситет стремится к 1, то есть если эллипс является сильно вытянутым. Интенсивность излучения также увеличивается при уменьшении размера a орбиты. Потеря момента импульса при излучении такова, что со временем эксцентриситет орбиты уменьшается, и она стремится к круговой с постоянно уменьшающимся радиусом.

Мощность гравитационного излучения планетных систем ничтожно мала, например для Солнечной системы — 5 КВт, из которых около 90 % приходится на систему Солнце-Юпитер. Это ничтожно мало по сравнению с кинетической энергией планет (ожидаемое время жизни Солнечной системы на 13 порядков больше возраста Вселенной). Гораздо больше излучение тесных двойных звезд, например мощность двойной звезды PSR B1913+16, компоненты которой находятся на расстоянии порядка радиуса Солнца, излучают гравитационные волны мощностью 7,35 × 10²⁴ Вт, что составляет 2 % мощности Солнца. Из-за потери энергии расстояние между компонентами двойной системы уменьшается на 3.5 м в год, и через 300 млн лет звезды сольются в одну. По мере сближения компонент двойной звезды, мощность гравитационного излучения растет обратно пропорционально пятой степени расстояния между ними, и непосредственно перед слиянием мощность достигает огромных величин: энергия эквивалентная нескольким массам Солнца излучается в течение десятых долей секунды, что соответствует мощности 10⁴⁷ Вт. Это на 21 порядок больше светимости Солнца, и в миллиарды раз больше светимости нашей Галактики (именно такая большая мощность позволяет регистрировать гравитационные волны при слиянии нейтронных звезд на расстоянии в сотни миллионов световых лет).