WikiSort.ru - Не сортированное

Через известную длину движущегося объекта

Путь в инерциальной системе отсчета К, ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина ${\displaystyle L}$ определяется через одновременное положение концов ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ . Собственную длину объекта в К' -системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:^[1]

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right).}$

По скольку ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ , и положив ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$ и ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$ , собственная длина в К'- системе, получается

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}},}$

В соответствии с этим измеренная длина в К- системе получается уменьшенной

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}}$

В соответствии с принципом относительности, объекты, покоящиеся в К- системе, будут так же уменьшены в К'- системе. Поменяв симметрично не штрихованные и штрихованные обозначения:

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}}$

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}}$

Через известную собственную длину

Если объект покоится в К- системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К' -системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные и временные координаты:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),&&&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right),&&&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Так как ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ и ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$ получаемые результаты не одновременны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma L_{0}\\\Delta t'&=\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}$

Для получения одновременных положений концов, необходимо вычесть из ${\displaystyle \Delta x'}$ расстояние, пройденное вторым концом со скоростью ${\displaystyle v}$ в течение времени ${\displaystyle \Delta t'}$  :

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'-v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}$

Таким образом движущаяся длина в К' -системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К' -системе

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$ .