Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая неотрицательно определенная матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариации между компонентами.
Ковариационная матрица случайного вектора является многомерным аналогом дисперсии случайной величины для случайных векторов. Матрица ковариаций двух случайных векторов- многомерный аналог ковариации между двумя случайными величинами.
В случае нормально распределенного случайного вектора, ковариационная матрица вместе с математическим ожиданием этого вектора полностью определяют его распределение (по аналогии с тем, что математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины полностью определяют её распределение)
Определения
- Пусть
,
— два случайных вектора размерности
и
соответственно. Пусть также случайные величины
имеют конечный второй момент (дисперсию), то есть
. Тогда матрицей ковариации векторов
называется
-
то есть
-
,
где
-
,
-
— математическое ожидание.
- Если
, то
называется матрицей ковариации вектора
и обозначается
.[1] Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а её след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. В связи с этим используется также обозначение
- вариация (дисперсия) случайного вектора. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).
Свойства матриц ковариации
- Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
-
.
-
.
-
.
- Если случайные векторы
и
нескоррелированы (
), то
-
.
-
,
где
— произвольная матрица размера
, а
.
-
- Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
-
,
-
.
- Если
и
независимы, то
-
.
Условная ковариационная матрица
Ковариационная матрица случайного вектора является характеристикой его распределения. В случае (многомерного) нормального распределения математическое ожидание вектора и его ковариационная матрица полностью определяют его распределение. Характеристиками условного распределения одного случайного вектора при условии заданного значения другого случайного вектора являются соответственно условное математическое ожидание (функция регрессии) и условная ковариационная матрица.
Пусть случайные векторы
и
имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями
, ковариационными матрицами
и матрицей ковариаций
. Это означает, что объединенный случайный вектор
подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания
и ковариационной матрицей которую можно представить в виде следующей блочной матрицы
где
Тогда случайный вектор
при заданном значении случайного вектора
имеет нормальное распределение (условное) со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей
Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора
от заданного значения x случайного вектора
), причем матрица
- матрица коэффициентов регрессии.
Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора
на вектор
.
В случае если
- обычная случайная величина (однокомпоненнтный вектор), условная ковариационная матрица - это условная дисперсия (по существу - случайной ошибки регрессии
на вектор
)
Примечания
- 1 2 А. Н. Ширяев. Глава 2, §6. Случайные величины II // Вероятность. — 3-е изд. — Cambridge, New York,...: МЦНМО, 2004. — Т. 1. — С. 301. — 520 с.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .