В этой статье не хватает ссылок на источники информации. |
Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть — интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также — σ-подалгебра σ-алгебры .
Случайная величина называется условным математическим ожиданием относительно σ-алгебры , если
где — индикатор события (иными словами, это характеристическая функция множества-события, аргументом которой является случайная величина или элементарный исход). Условное математическое ожидание обозначается .
Пример. Пусть Положим . Тогда — σ-алгебра, и . Пусть случайная величина имеет вид
Тогда
Пусть — произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется
где — минимальная сигма-алгебра, содержащая .
Пример. Пусть Пусть также . Тогда . Пусть случайная величина имеет вид
Тогда
Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется
где — σ-алгебра, порождённая случайной величиной .
Другое определение УМО относительно :
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:
Пример:
Пусть — произвольное событие, и — его индикатор. Тогда условной вероятностью относительно называется
и в частности справедлива формула полной вероятности:
В частности формула полной вероятности принимает классический вид:
а следовательно
Условное математическое ожидание относительно события по определению равно
В частности, если независимые случайные величины, то
Пусть — дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности . Тогда система событий является разбиением , и
а
где означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности .
Если случайная величина также дискретна, то
где — условная функция вероятности случайной величины относительно .
Пусть — случайные величины, такие что вектор абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности . Введём условную плотность , положив по определению
где — плотность вероятности случайной величины . Тогда
где функция имеет вид
В частности,
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом . В нём определены скалярное произведение
и порождённая им норма
Множество всех случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством . Тогда оператор , задаваемый равенством
является оператором ортогонального проектирования на . В частности:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .