WikiSort.ru - Не сортированное

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

${\displaystyle y={a \over 2}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a~\operatorname {ch} {x \over a}}$

(о функции ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ см. гиперболический косинус).

Свойства

• Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):

  ${\displaystyle s=a~\operatorname {sh} {x \over a}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}}$

• Радиус кривизны:

  ${\displaystyle R=a~\operatorname {ch} ^{2}{x \over a}={y^{2} \over a}}$

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  ${\displaystyle S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {x_{2} \over a}-\operatorname {sh} {x_{1} \over a}\right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\right).}$

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия ^[1].

Применения

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли^[4].

Примечания

Литература

• Люстерник Л. А.  Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.-Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р.  Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.