Шизофреническое число (англ. Schizophrenic number, также известно как «ложное рациональное число» (англ. mock rational number)) — иррациональное число, обладающее определёнными характеристиками рациональных чисел.
Определение
Определение шизофренических чисел приведено британским астрономом и популяризатором науки Дэвидом Дарлингом[en] в его Универсальной книге математики[en]:
Неофициальное название для иррационального числа, которое в виде десятичной дроби имеет в дробной части повторяющиеся последовательности цифр, придающие ему сходство с рациональным числом. Шизофреническое число можно получить следующим образом. Для любого натурального числа n пусть f (n) обозначает целое число, заданное рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n с начальным значением f (0) = 0. Таким образом, f (1) = 1 , f (2) = 12, f (3) = 123 и т. д. В этом случае квадратные корни f (n) для нечётных целых чисел n будут иметь значения, сначала содержащие периодические последовательности цифр, характерные для рациональных чисел, но затем переходящие в иррациональные. Например, последовательность из первых 500 цифр √f (49) выглядит так:
- 1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
- 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
- 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
- 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
- 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
- 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
- 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
- 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
- 222222222 1863492016791180833081844 ...
Видно, что повторяющиеся последовательности цифр становятся всё короче, а длина «неупорядоченных» последовательностей цифр увеличивается до тех пор, пока повторяющиеся последовательности не исчезают вообще. При этом, увеличивая n, можно «задавать» появление повторяющихся последовательностей цифр сколь угодно долго. В последовательности всегда фигурируют цифры 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ….
- 1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
- 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
- 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
- 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
- 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
- 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
- 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
- 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
- 222222222 1863492016791180833081844 ...
- The repeating strings become progressively shorter and the scrambled strings become larger until eventually the repeating strings disappear. However, by increasing n we can forestall the disappearance of the repeating strings as long as we like. The repeating digits are always 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2,....[1]
Последовательность чисел, порождённых рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n, описанной выше, выглядит так:
0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, … (последовательность A014824 в OEIS).
Целые части их квадратных корней — соответственно:
0, 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, … (последовательность A068995 в OEIS), содержат как числа с повторяющимися последовательностями цифр, так и числа с «неупорядоченным» набором цифр, аналогично чередованию цифр в дробных частях значений квадратных корней.
История
По оценке американского писателя и популяризатора науки Клиффорда Пиковера[en], шизофренические числа были обнаружены Кевином Брауном.
В своей книге «Чудеса чисел» Пиковер так описал историю шизофренических чисел[2]:
- Построение и открытие шизофренических чисел было вызвано требованием (опубликованным в Usenet newsgroup sci.math), чтобы иррациональное число, выбранное случайным образом, не содержало бы в первых 100 знаках повторяющихся последовательностей цифр. Было отмечено, что если бы такая последовательность была найдена, это стало бы неопровержимым доказательством существования Бога или внеземного разума. (Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Трансцендентные числа, такие как e и π, и другие, такие как квадратный корень из 2, являются иррациональными).
Примечания
- ↑ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, с. 12, ISBN 9780471667001, <https://books.google.com/books?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA12>.
- ↑ Pickover, Clifford A. (2003), "Schizophrenic Numbers", Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning, Oxford University Press, с. 210–211, ISBN 9780195157994, <https://books.google.com/books?id=52N0JJBspM0C&pg=PA210>.
Ссылки
- Mock-Rational Numbers, K. S. Brown, mathpages.
 | ||
|---|---|---|
|  | |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .