WikiSort.ru - Не сортированное

Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Свой список обнародовал Математический институт Клэя.

Список проблем

№	Статус	Краткая формулировка	Результат	Год решения
1	решена[1]	Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза)	Доказано, что проблема неразрешима в ZFC. Нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы.	1940, 1963
2	нет консенсуса[2]	Непротиворечивость аксиом арифметики.	Требует уточнения формулировки
3	решена	Равносоставленность равновеликих многогранников	Опровергнута	1900
4	слишком расплывчатая	Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими[уточнить]	Требует уточнения формулировки[3]
5	решена	Все ли непрерывные группы являются группами Ли?	Да	1953
6	частично решена[4]	Математическое исследование аксиом физики	Зависит от интерпретации исходной постановки проблемы[5]
7	решена	Является ли число ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ трансцендентным (или хотя бы иррациональным)[6]	Да	1934
8	частично решена[7]	Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха)	Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха[8][9][10][11].
9	частично решена[12]	Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле	Доказана для абелевого случая
10	решена[13]	Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений?	Нет	1970
11	частично решена	Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
12	не решена	Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности
13	решена	Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?	Да	1957
14	решена	Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы[14]	Опровергнута	1959
15	частично решена	Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
16	частично решена[15]	Топология алгебраических кривых и поверхностей[16]
17	решена	Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов	Да	1927
18	решена[17][18]	Конечно ли число кристаллографических групп? (a) Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (a) Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? (b)	Да Да Да	1928 (a) 1998 (b)
19	решена	Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими?	Да	1957
20	решена[19][20][21]	Все ли регулярные вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения, если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование?	Да	1937 - 1962
21	решена	Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии	Существуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи	1992
22	частично решена	Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
23	слишком расплывчатая	Развитие методов вариационного исчисления	Требует уточнения формулировки

24-я проблема

Основная статья: 24-я проблема Гильберта

Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 году^[22].

См. также

• Задачи тысячелетия
• Открытые математические проблемы
• Проблемы Смейла

Примечания

Литература

• Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17. — С. 91—122.
• Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М. : Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84—99.
• Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В. Двадцатая проблема Гильберта : Обобщённые решения операторных уравнений. — М. : Диалектика, 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5.
• Проблемы Гильберта : сб. / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с.

Ссылки

• Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта
• Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)