WikiSort.ru - Не сортированное

Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно

${\displaystyle \ln 2\approx 0,693\,147\,180\,56,}$

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения

${\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}$

Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен

${\displaystyle \log _{10}2\approx 0,301\,029\,995\,663\,981\,195.}$

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

${\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3,321\,928\,095}$ (A020862).

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.

Представление в виде рядов

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\tfrac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}}\right).}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.}$

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}}$

Представление в виде интегралов

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ или, равносильно, }}\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1-\ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {\ln 2}{n}};\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx=-{\frac {\pi \ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{18}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}\,dx=-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}\,dx=1-2\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3}}}\,dx=-{\frac {\gamma +\ln 2}{2}}.}$

Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид (A091846)

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

Разложение Энгеля (A059180):

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785

${\displaystyle \ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\cdots }).}$

Представление в виде бесконечной суммы дробей^[1] (знакопеременный гармонический ряд):

${\displaystyle \ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}-\cdots .}$

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56}}+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:^[2]

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

Вычисление других логарифмов

Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots }$

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln ⁿ√c = 1/n ln c.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2ⁱ, близкой к степени b^j другого числа b сравнительно несложно.

Примечания

Литература

• Brent, Richard P. (1976). “Fast multiple-precision evaluation of elementary functions”. J. ACM. 23 (2): 242—251. DOI:10.1145/321941.321944. MR 0395314.
• Uhler, Horace S. (1940). “Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26: 205—212. DOI:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523.
• Sweeney, Dura W. (1963). “On the computation of Euler's constant”. Mathematics of Computation. 17: 170—178. DOI:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308.
• Chamberland, Marc (2003). “Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes” (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). “Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas” (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237—246. MR 2346048.
• Wu, Qiang (2003). “On the linear independence measure of logarithms of rational numbers”. Mathematics of Computation. 72 (242): 901—911. DOI:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The logarithm constant:log 2 (неопр.).