WikiSort.ru - Не сортированное

Постоянная Гельфонда — Шнайдера (обозначение^[1]: ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{GS}}$ ) — трансцендентное число, 2 в степени ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ^[1]:${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots }$ ^[1]

Трансцендентность этого числа была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году.^[2] В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали более общую теорему Гельфонда — Шнайдера^[3], которая решила часть седьмой проблемы Гильберта, описанную ниже.

Свойства

Квадратный корень из постоянной Гельфонда — Шнайдера является трансцендентным числом:

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}6325269...}$

Это же число может быть использовано для доказательства того, что иррациональное число в степени иррационального числа может быть рациональным, без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство происходит следующим образом. Если число ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ рационально, то это является доказательством теоремы. В противном случае:

${\displaystyle {\bigl (}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}{\bigr )}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}{\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2}$ ,

что является рациональным числом, а значит, доказывает теорему. Данное доказательство не конструктивно, так как не говорит, какой случай верный, но оно гораздо проще, чем доказательство Р. О. Кузьмина.

Седьмая проблема Гильберта

Седьмая из двадцати трёх проблем Гильберта, поставленных в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример утверждения, что ${\displaystyle a^{b}}$ всегда трансцендентно для алгебраических ${\displaystyle a\neq 1,0}$ и иррациональных алгебраических ${\displaystyle b}$ . В своём обращении Гильберт привёл два ярких примера, один из которых — постоянная Гельфонда — Шнайдера.

См. также

• Постоянная Гельфонда

Примечания