WikiSort.ru - Не сортированное

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера:

Теоремы

• Теорема Эйлера (теория чисел) — обобщение малой теоремы Ферма.
• Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси.
• Теорема Эйлера (планиметрия) — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Пентагональная теорема Эйлера о производящей функции для числа разбиений.
• Гипотеза Эйлера (теория чисел) — утверждение, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы из ${\displaystyle (n-1)}$ натуральных чисел, возведённых в ${\displaystyle n}$ -ю степень. Опровергнуто.
• Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, ребер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа.
• Теорема Эйлера для однородных функций — утверждение, что дифференцируемая функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ является однородной с порядком однородности ${\displaystyle q}$ , тогда и только тогда, когда выполнено соотношение Эйлера: ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Уравнения

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов, зависящих от неизвестной функции и её производной.
• Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
• Уравнения Эйлера (механика) (механика твёрдого тела) — описывают вращение твердого тела.
• Уравнение Эйлера (гидродинамика) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
• Уравнение Коши — Эйлера — линейное дифференциальное уравнение определённого типа, допускающее явное решение.
• Эйлеровы точки либрации (коллинеарные точки).
• Уравнение Эйлера — Бернулли — описывает равновесие балки.

Функции

• Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$  — количество натуральных чисел, не превосходящих ${\displaystyle n}$ и взаимно простых с ним. *:${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),\;\;n>1,}$

где ${\displaystyle p}$  — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении ${\displaystyle n}$ на простые сомножители.

• Функция Эйлера (комплексный анализ) — модулярная функция ${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\;|q|\leq 1}$ . Является классическим примером, показывающим связь между комбинаторикой и комплексным анализом.

Тождества

• Тождество Эйлера в теории чисел
• Тождество Эйлера (комплексный анализ) — частный случай формулы Эйлера, связывающий пять фундаментальных чисел математики.
• Тождество Эйлера (кватернионы), «тождество Эйлера о четырёх квадратах» (алгебра) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
• Тождество Эйлера (алгебра многочленов) — соотношение

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\equiv kF,}$

которое справедливо для любой алгебраической формы (однородного многочлена) ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ степени ${\displaystyle k.}$

Формулы

• Формула Эйлера (комплексный анализ) связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

  ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

• Формула Эйлера (дифференциальная геометрия):

  ${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha ,}$

где ${\displaystyle \kappa _{e}}$  — кривизна нормального сечения поверхности в направлении ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$  — главные кривизны (с соответствующими главными направлениями ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ ), ${\displaystyle \alpha }$  — угол между направлениями ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle e_{1}}$ .

• Формула Эйлера (кинематика твёрдого тела), связывает скорости двух точек твёрдого тела:

  ${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}.}$

• Формула Эйлера (механика трения качения в витках): ${\displaystyle F=fe^{k\alpha }}$ , связывает зависимость силы трения от числа оборотов (витков); ${\displaystyle F}$  — сила, против которой направлено наше усилие ${\displaystyle f}$ (наприм., подъёмная сила кранов с наматывающимся тросом), ${\displaystyle e}$  — основание натуральных логарифмов, ${\displaystyle k}$  — коэффициент трения между верёвкой (тросом, швартовами, талями) и наматывающей поверхностью (цилиндром-сваей, фрикционным колесом, воротом, кабестаном), ${\displaystyle \alpha }$  — «угол навивания», то есть отношение длины дуги, охваченной верёвкой (числа оборотов), к радиусу этой дуги (см. также радиан).^[1]
• Формула Эйлера в геометрии треугольника — то же, что Теорема Эйлера (планиметрия) — формула для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

• Формула Эйлера в геометрии четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма, длину медианы треугольника^[2].
• Формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.
• Формула Эйлера в теории графов, связывающая количество вершин, ребер и граней планарного графа

  ${\displaystyle |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2.}$

• Формула Эйлера для радиальных турбин и центробежных насосов

Интегралы

• Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
• Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
• Интеграл Эйлера — Пуассона (т. н. гауссов интеграл).

Числа

• Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
• e (число) — основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.
• Число Эйлера (физика) — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.
• Числа Эйлера I рода
• Удобное число (англ.)русск.
• Счастливое число Эйлера
• Целое число Эйлера (Целое число Эйзенштейна)

Прочие математические понятия

• Эйлерова характеристика (алгебраическая топология) — топологический инвариант.
• Углы Эйлера — обобщённые координаты при вращении вокруг неподвижной точки.
• Многочлены Эйлера.
• Преобразование Эйлера — интегральное преобразование.
• Прямая Эйлера (геометрия треугольника) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
• Окружность Эйлера, «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
• Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами.
• Эйлеров путь (теория графов) — путь в графе, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. О связанных понятиях: эйлеров цикл, эйлеров граф, полуэйлеров граф см. ту же статью.
• Эйлеров сплайн — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
• Эйлерова сила — в механике, такая сила, которая при сжимании стержня вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
• Подстановки Эйлера — замены переменных, решающие некоторые виды интегралов.
• Группа Эйлера — мультипликативная группа кольца вычетов по модулю ${\displaystyle n}$ , обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ или ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ^[3].
• Спираль Эйлера — другое название клотоиды или спираль Корню.

Прочее

• Эйлер — астероид главного пояса, открытый 29 августа 1973 года российским астрономом Тамарой Смирновой в Крымской астрофизической обсерватории.
• Эйлер — кратер ударного происхождения на видимой части Луны, диаметр 28 км.
• Олимпиада им. Леонарда Эйлера — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8 классов. См. Официальный сайт олимпиады им. Эйлера.
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской академии наук.
• Медаль (англ. Euler Medal), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its Applications) за достижения в этой области математики, а также Пермским государственным университетом за заслуги в физико-математическом образовании Пермского края.
• Проект Эйлер — проект в Интернете, объединяющий сотни тысяч любителей математики и программирования.
• Диск Эйлера — научная игрушка, используемая для изучения динамических систем.

Примечания