WikiSort.ru - Не сортированное

То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных ^[1].

Примеры:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. ${\displaystyle 25^{2}=625.}$

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство ${\displaystyle x+2=5}$ имеет место не при всяком значении ${\displaystyle x}$ , а только при ${\displaystyle x=3}$ . Поэтому оно не является тождеством. Кроме того, равенство может выполняться, например, при положительных значениях переменных и не выполняться (или не иметь смысла) при отрицательных, см. об этом следующий раздел.

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается вместо знака равенства символом «≡».

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождества выполняется не для всех возможных значений переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

• выражение ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a}}=a}$ тождественно при любом ${\displaystyle a,}$ кроме ${\displaystyle a=0}$ .
• выражение ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
• выражение ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$ тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: ${\displaystyle ab\neq ba}$ .

См. также

• Отношение эквивалентности
• Уравнение

Примечания

Литература

• Тождество // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 291. — 352 с. — ISBN 5715502187.