WikiSort.ru - Не сортированное

Подстановка

Подстановка вида ${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )=e^{t}}$ то есть ${\displaystyle \ t=\ln(\alpha x+\beta )}$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что ${\displaystyle \ t_{x}'=\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}}$ , ${\displaystyle \ t_{xx}''=-\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}}$ и ${\displaystyle \ t_{xxx}'''=+2\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}}$ .
В соответствии с этим:

${\displaystyle \ y(t)=y(t(x))}$

откуда

${\displaystyle \ y_{x}'(x)=y_{t}'(t)t_{x}'=y_{t}'(t)\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}}$

таким образом

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )y_{x}'(x)=\alpha y_{t}'(t)}$

Вычислим очередную производную сложной функции

${\displaystyle \ y_{xx}''(x)=(y_{x}'(x))_{x}'=(y_{t}'(t)t_{x}')_{x}'=y_{tt}''(t)t_{x}'t_{x}'+y_{t}'(t)t_{xx}''=y_{tt}''(t)\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}+y_{t}'(t)(-\alpha ^{2})(\alpha x+\beta )^{-2}}$ ,

что приводит к

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )^{2}y_{xx}''(x)=\alpha ^{2}(y_{tt}''(t)-y_{t}'(t))}$ .

и далее

${\displaystyle \ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_{x}'=(y_{tt}''(t)(t_{x}')^{2}+y_{t}'(t)t_{xx}'')_{x}'=y_{ttt}'''(t)t_{x}'(t_{x}')^{2}+y_{tt}''(t)2t_{x}'t_{xx}''+y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=}$

${\displaystyle \ =y_{ttt}'''(t)(t_{x}')^{3}+3y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=y_{ttt}'''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}-3y_{tt}''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}+2y_{t}'(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}}$

что, аналогично, приводит к

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )^{3}y_{xxx}'''(x)=\alpha ^{3}(y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_{t}'(t))}$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

${\displaystyle \ (2x-1)^{3}y'''(x)+4(2x-1)^{2}y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln(2x-1)}$ .

Определив подстановку ${\displaystyle \ t=\ln(2x-1)}$ ${\displaystyle \ \left((2x-1)=e^{t}\right)}$ , приходим к уравнению

${\displaystyle \ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)-y'(t))-8\cdot 2y'(t)=32t}$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle \ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4t}$ ,

решение которого имеет вид

${\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{-1t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}+t-t^{2}}$

или в терминах ${\displaystyle \ x}$

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}(2x-1)^{-1}+c_{2}(2x-1)^{2}+c_{3}+ln(2x-1)-ln(2x-1)^{2}}$

Пример

Дано неоднородное уравнение

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x}$ .

Определив подстановку ${\displaystyle \ t=\ln x}$ (${\displaystyle \ x=e^{t}}$ ), приходим к уравнению

${\displaystyle \ (y''(t)-y'(t))-2y'(t)+2y(t)=6e^{t}}$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle \ y''(t)-3y'(t)+2y(t)=6e^{t}}$ ,

решение которого имеет вид

${\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{+1t}+c_{2}e^{+2t}-6te^{+1t}}$

или в терминах ${\displaystyle \ x}$

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}-6x\ln x}$

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0}$ .

Его решениями являются функции вида:

${\displaystyle \ y(x)=x^{r}}$ ,

где ${\displaystyle r}$  — решения характеристического уравнения

${\displaystyle \ r^{2}+(p-1)r+q=0}$ ,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Однако, если эти решения будут комплексными или совпадут, этот способ неприменим. Тогда необходимо применять первый, универсальный, способ решения.

Пример

Дано однородное уравнение

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0}$ .

Характеристическое уравнение которого имеет вид

${\displaystyle \ r^{2}+(-2-1)r+2=0\Leftrightarrow r^{2}-3r+2=0}$ ,

с решениями ${\displaystyle \ r_{1}=1}$ , ${\displaystyle \ r_{2}=2}$ .
Тогда общее решение однородного уравнения

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}}$