Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит:
Если и взаимно просты, то , где — функция Эйлера. |
Важным следствием теоремы Эйлера для случая простого модуля является малая теорема Ферма:
Если не делится на простое число , то . |
В свою очередь, теорема Эйлера является следствием общеалгебраической теоремы Лагранжа, применённой к приведённой системе вычетов по модулю .
Пусть — все различные натуральные числа, меньшие и взаимно простые с ним.
Рассмотрим все возможные произведения для всех от до .
Поскольку взаимно просто с и взаимно просто с , то и также взаимно просто с , то есть для некоторого .
Отметим, что все остатки при делении на различны. Действительно, пусть это не так, тогда существуют такие , что
или
Так как взаимно просто с , то последнее равенство равносильно тому, что
Это противоречит тому, что числа попарно различны по модулю .
Перемножим все сравнения вида . Получим:
или
Так как число взаимно просто с , то последнее сравнение равносильно тому, что
или
Рассмотрим мультипликативную группу обратимых элементов кольца вычетов . Её порядок равен согласно определению функции Эйлера. Поскольку число взаимно просто с , соответствующий ему элемент в является обратимым и принадлежит . Элемент порождает циклическую подгруппу, порядок которой, согласно теореме Лагранжа, делит , отсюда . ■
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .