Фу́нкция Э́йлера — мультипликативная арифметическая функция, равная количеству натуральных чисел, меньших и взаимно простых с ним. При этом полагают по определению, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами, и [1].
Например, для числа 24 существует 8 меньших его и взаимно простых с ним чисел (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23), поэтому .
Названа в честь Эйлера, который впервые использовал её в 1760 году в своих работах по теории чисел для доказательства малой теоремы Ферма, а затем и для доказательства более общего утверждения — теоремы Эйлера. Позднее функцию использовал Гаусс в своем труде «Арифметические исследования», вышедшем в свет в 1801 году. Гаусс ввёл ставшее стандартным обозначение [2].
Функция Эйлера находит применение в вопросах, касающихся теории делимости и вычетов (см. сравнение по модулю), теории чисел, криптографии. Функция Эйлера играет ключевую роль в алгоритме RSA[3].
Общие сведенияФункция Эйлера показывает, сколько натуральных чисел из отрезка имеют c только один общий делитель — единицу. Функция Эйлера определена на множестве натуральных чисел, и значения её лежат в множестве натуральных чисел. Как следует из определения, чтобы вычислить , нужно перебрать все числа от до , и для каждого проверить, имеет ли оно общие делители с , а затем подсчитать, сколько чисел оказались взаимно простыми с . Эта процедура для больших чисел весьма трудоёмка, поэтому для вычисления используют другие методы, которые основываются на специфических свойствах функции Эйлера. В таблице справа представлены первые 99 значений функции Эйлера. Анализируя эти данные, можно заметить, что значение не превосходит , и в точности ему равно, если — простое. Таким образом, если в координатах провести прямую , то значения будут лежать либо на этой прямой, либо ниже её. Также, глядя на график, приведенный в начале статьи, и на значения в таблице, можно предположить, что существует прямая, проходящая через ноль, которая ограничивает значения снизу. Однако, оказывается, такой прямой не существует. То есть, какую бы пологую прямую мы ни провели, всегда найдется натуральное число , такое, что лежит ниже этой прямой. Ещё одной интересной особенностью графика является наличие некоторых прямых, вдоль которых концентрируются значения функции Эйлера. Так, например, помимо прямой , на которой лежат значения , где — простое, выделяется прямая, примерно соответствующая , на которую попадают значения , где — простое. Более подробно поведение функции Эйлера рассматривается в разделе #Асимптотические соотношения. |
|
Одним из основных свойств функции Эйлера является её мультипликативность. Это свойство было установлено ещё Эйлером и формулируется оно следующим образом: для любых взаимно простых чисел и [4]
Для доказательства мультипликативности функции Эйлера потребуется следующая вспомогательная теорема[5].
Теперь можно доказать основное утверждение[6].
Для простого значение функции Эйлера задаётся явной формулой[7]:
которая следует из определения. Действительно, если — простое, то все числа, меньшие , взаимно просты с ним, а их ровно штук.
Для вычисления функции Эйлера от степени простого числа используют следующую формулу[7]:
Это равенство обосновывается следующим образом. Подсчитаем количество чисел от до , которые не взаимно просты с . Все они, очевидно, кратны , то есть, имеют вид: Всего таких чисел . Поэтому количество чисел, взаимно простых с , равно .
Вычисление для произвольного натурального основывается на мультипликативности функции Эйлера, выражении для , а также на основной теореме арифметики. Для произвольного натурального числа значение представляется в виде[7]:
где — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении на простые сомножители.
Как следует из основной теоремы арифметики, всякое натуральное число единственным образом представляется в виде:
где — простые числа, — натуральные числа.
Используя мультипликативность функции Эйлера и выражение для , получаем:
Функция Эйлера является мультипликативной арифметической функцией, то есть
Здесь существенно, что наибольший общий делитель и равен единице. Оказывается, существует обобщение этой формулы на случай, когда и имеют общие делители, отличные от единицы. А именно, для любых натуральных и [8]:
где — наибольший общий делитель и Это свойство является естественным обобщением мультипликативности.
Пусть тогда причем в общем случае и Поэтому можно записать:
Здесь первые делителей являются также делителями а последние делителей являются делителями Распишем:
В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы
где — простое, получаем:
В первой строке записано во второй — а третью можно представить, как Поэтому:
Некоторые частные случаи:
Наиболее часто на практике используется свойство, установленное Эйлером:
если
и
взаимно просты.
Это свойство, которое называют теоремой Эйлера, вытекает из Теоремы Лагранжа и того факта, что
равна порядку группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю
.
В качестве следствия теоремы Эйлера можно получить малую теорему Ферма. Для этого нужно взять не произвольное
а простое. Тогда:
Последняя формула находит применение в различных тестах простоты.
Исходя из представимости произведением Эйлера, несложно получить следующее полезное утверждение:
Следующее равенство[9][10] является следствием теоремы Зигмонди :
Всякое натуральное число представимо в виде суммы значений функции Эйлера от его натуральных делителей[11]:
Сумма всех чисел, меньших данного, и взаимно простых с ним, выражается через функцию Эйлера:
Исследование структуры множества значений функции Эйлера является отдельной сложной задачей. Здесь представлены лишь некоторые результаты, полученные в этой области[12].
В действительном анализе часто возникает задача нахождения значения аргумента по заданному значению функции, или, другими словами, задача нахождения обратной функции. Подобную задачу можно поставить и для функции Эйлера. Однако, надо иметь в виду следующее.
В связи с этим нужны особые методы анализа. Полезным инструментом для исследования прообраза является следующая теорема[13].
Эта теорема показывает, что прообраз элемента всегда представляет собой конечное множество. Также она даёт следующий практический способ нахождения прообраза.
Может оказаться, что в указанном промежутке нет такого числа
что
в этом случае прообраз является пустым множеством.
Стоит отметить, что для вычисления
нужно знать разложение
на простые сомножители, что для больших
является вычислительно сложной задачей. Затем нужно
раз вычислить функцию Эйлера, что для больших чисел также весьма трудоёмко. Поэтому нахождение прообраза в целом является вычислительно сложной задачей.
Найдем прообраз 4. Делителями 4 являются числа 1, 2 и 4. Добавляя по единице к каждому из них, получаем 2, 3, 5 — простые числа. Вычисляем
Чтобы найти прообраз 4, достаточно рассмотреть числа от 5 до 15. Проделав выкладки, получим:
Не существует, например, такого числа что То есть:
В самом деле, делители 14 суть 1, 2, 7 и 14. Добавив по единице, получим 2, 3, 8, 15. Из них только первые два числа — простые. Поэтому
Перебрав все числа от 15 до 42, несложно убедиться, что
На основе алгоритма, предложенного в 1978 году Рональдом Ривестом, Ади Шамиром и Леонардом Адлеманом, была построена первая система шифрования с открытым ключом, получившая название по первым буквам фамилий авторов — система RSA. Криптостойкость этой системы определяется сложностью разложения на сомножители целого -разрядного числа. Ключевую роль в алгоритме RSA играет функция Эйлера, свойства которой и позволяют построить криптографическую систему с открытым ключом[33].
На этапе создания пары из секретного и открытого ключей вычисляется
где и — простые. Затем выбираются случайные числа так, чтобы
Затем сообщение шифруется открытым ключом адресата:
После этого расшифровать сообщение может только обладатель секретного ключа :
Корректность последнего утверждения основывается на теореме Эйлера и китайской теореме об остатках.
В силу выбора чисел на этапе создания ключей
Если то, с учетом теоремы Эйлера,
В общем случае и могут иметь общие делители, но расшифрование всё равно оказывается верным. Пусть По китайской теореме об остатках:
Подставляя получаем тождество
Следовательно,
Функция Эйлера может быть использована для вычисления обратного по умножению элемента по модулю , а именно[34]:
Эта формула следует из теоремы Эйлера:
Найдем , то есть такое число , что
Очевидно, и не имеют общих делителей кроме единицы, , при этом число простое и
поэтому удобно воспользоваться формулой, приведенной выше:
Легко проверить, что в самом деле
В общем случае для вычисления обратных значений алгоритм Евклида быстрее, чем использование теоремы Эйлера[35], так как битовая сложность вычисления по алгоритму Евклида имеет порядок в то время как вычисление по теореме Эйлера требует порядка битовых операций, где Однако, в случае, когда известно разложение на простые сомножители, сложность вычислений можно уменьшить, используя алгоритмы быстрого возведения в степень: Алгоритм Монтгомери или алгоритм «возводи в квадрат и перемножай»[36].
Если то обратного к элемента не существует, или, иначе говоря, уравнение
не имеет решения на множестве натуральных чисел[37].
Доказательство. В самом деле, допустим
и решение существует. Тогда по определению наибольшего общего делителя
поэтому можно записать:
или, перегруппировав слагаемые,
Слева стоит целое отличное от нуля число, значит и справа должно быть целое отличное от нуля число, поэтому с необходимостью
что противоречит предположению.
Метод вычисления обратного элемента можно использовать для решения сравнения
Решение задаётся формулой[35]:
Рассмотрим сравнение
Так как можно воспользоваться указанной формулой:
Подстановкой убеждаемся, что
Если , сравнение либо имеет не единственное решение, либо не имеет решения. Как легко убедиться, сравнение
не имеет решения на множестве натуральных чисел. В то же время сравнение
имеет два решения
Функции Эйлера позволяет вычислять остатки от деления больших чисел[38].
Найдем последние три цифры в десятичной записи числа Замечая, что
получаем
Переходя теперь от модуля к модулю имеем:
Следовательно, десятичная запись числа оканчивается на
Найдем остаток от деления на Легко видеть, что
Поэтому, воспользовавшись мультипликативностью функции Эйлера и равенством
получаем
Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю
состоит из
классов вычетов[39].
Пример. Приведённая система вычетов по модулю 14 состоит из
классов вычетов:
Число порождающих элементов в конечной циклической группе
равно
. В частности, если мультипликативная группа кольца вычетов по модулю
является циклической группой — что возможно только при
, где
— простое нечётное,
— натуральное[40], — то существует
генераторов группы (первообразных корней по модулю
).
Пример. Группа
рассмотренная в примере выше, имеет
генератора:
и
Как известно, если — простое, то В 1932 году Лемер задался вопросом, существует ли такое составное число что является делителем Лемер рассматривал уравнение:
где — целое. Ему удалось доказать, что если — решение уравнения, то либо — простое, либо оно является произведением семи или более различных простых чисел[41]. Позже были доказаны и другие сильные утверждения. Так, в 1980 году Cohen и Hagis показали, что если составное и делит то и где — количество простых делителей. В 1970 году Lieuwens установил, что если то и Wall в 1980 году доказал, что если то [42].
По сей день неизвестно, существуют ли составные решения задачи Лемера. Если предположить, что их не существует, то получается следующий критерий простоты: — простое тогда и только тогда, когда [41].
Если посмотреть даже на первые десять значений функции Эйлера {1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4}, бросается в глаза, что среди них много повторяющихся. Гипотеза Кармайкла состоит в том, что нет такого значения , которое функция Эйлера принимала бы только один раз.
В 1907 году Кармайкл предложил как упражнение доказать следующее утверждение[43]:
Иначе это утверждение можно сформулировать так[44]: не существует натурального числа такого, что
Однако в 1922 году Кармайкл обнаружил, что предложенное им доказательство содержит ошибку. В этом же году он показал, что если то Позже эта оценка неоднократно улучшалась, и современное значение нижней границы, с которой стоит начинать искать контрпример для гипотезы Кармайкла, есть Это значение получили Schlafly и Wagon в 1994 году, используя метод Klee[43].
Стоит отметить, что в 1999 Форд доказал следующую теорему[45]:
Это означает, что, задавшись некоторым числом можно найти среди множества значений функции Эйлера такое значение что оно принимается ровно раз. Однако, доказать, что нет такого значения, которое функция Эйлера принимала бы только один раз, до сих пор никому не удалось[44].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .