WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.^[1]

Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

\int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \limits _{S}p\,d\mathbf {S} ,

где $\mathbf {S}$ — поверхность выделенного объёма, $\mathbf {g}$ — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что $dm=\rho \,dV$ , где $\rho$ — плотность жидкости в данной точке, получим:

\int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g} \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.

В силу произвольности объёма $V$ подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\rho \mathbf {g} -\nabla p.

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ,

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,$

где

$\rho \left(x,y,z,t\right)$ — плотность жидкости,
$p\left(x,y,z,t\right)$ — давление в жидкости,
$\mathbf {v} \left(x,y,z,t\right)$ — вектор скорости жидкости,
$\mathbf {g} \left(x,y,z,t\right)$ — вектор напряжённости силового поля,
$\nabla$ — оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи

Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по $x$ при постоянной плотности жидкости $\rho$ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+p=const.

Несжимаемая жидкость

Пусть $\rho =const$ . Используя известную формулу

{\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} ,

перепишем соотношение в форме

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,-\operatorname {grad} {\frac {p}{\rho }}.

Беря ротор и учитывая, что

\operatorname {rot} \,\operatorname {grad} \,\phi =0,

а частные производные коммутируют, получаем что

${\frac {\partial }{\partial t}}\,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} \,=\,\operatorname {rot} \,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ].$

Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции $w$ следующим образом:

dw\,=\,V\,dp\,+\,T\,ds\,=\,V\,dp

в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия

s

постоянна.

Следовательно:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} \,=\,-\operatorname {grad} \,w.

Используя известное соотношение:

{\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v}

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

{\frac {\partial }{\partial t}}\,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} \,=\,\operatorname {rot} \,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ].

См. также

Уравнения Лагранжа
Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
Уравнения движения вязкой жидкости
Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
Уравнение вихря
Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

↑ Стюарт, 2015, с. 315.

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — («Теоретическая физика», том VI).
Falkovich G. Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011
Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_60c9793085a3dc59-1] Стюарт, 2015, с. 315.