WikiSort.ru - Не сортированное

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle Ly=f}$

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция ${\displaystyle y=y(t)}$ , а правая часть ${\displaystyle f=f(t)}$  — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y}$

При этом, если ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$ , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

${\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x)}$

Уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}$

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

${\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}$

получим

${\displaystyle y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}$

используем правило дифференцирования произведения

${\displaystyle \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}$

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

${\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C~,}$

${\displaystyle y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C}{e^{\int f(x)\,dx}}}~.}$

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}$

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

${\displaystyle y(x)=e^{-{\int {f(x)\,dx}}}\left(\int g(x)e^{\int {f(x)\,dx}}\,dx+C\right)}$

где ${\displaystyle C}$ является константой интегрирования.

Уравнения с постоянными коэффициентами

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.