WikiSort.ru - Не сортированное

Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:

где функция ${\displaystyle f}$ определена на некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ . Решение ищется на интервале ${\displaystyle (x_{0},b]}$ . На этом интервале введем узлы:

Приближенное решение в узлах ${\displaystyle x_{i}}$ , которое обозначим через ${\displaystyle y_{i}}$ , определяется по формуле:

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности метода на шаге и в целом

Погрешность на шаге или локальная погрешность — это разность между численным решением после одного шага вычисления ${\displaystyle y_{i}}$ и точным решением в точке ${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+h}$ . Численное решение задаётся формулой

${\displaystyle y_{i}=y_{i-1}+hf(x_{i-1},y_{i-1}).\quad }$

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

${\displaystyle y(x_{i-1}+h)=y(x_{i-1})+hy'(x_{i-1})+O(h^{2}).}$

Локальную ошибку${\displaystyle L}$ получаем, вычитая из второго равенства первое:

${\displaystyle L=y(x_{i-1}+h)-y_{i}=O(h^{2}).}$

Это справедливо, если ${\displaystyle y}$ имеет непрерывную вторую производную^[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость ${\displaystyle f(x,y)}$ по обоим аргументам^[3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется ${\displaystyle S/h}$ шагов, где ${\displaystyle S}$ длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода ${\displaystyle G=O(h^{2}S/h)=O(h)}$ .

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге ${\displaystyle O(h^{2})}$ и погрешность в целом ${\displaystyle O(h)}$ ^[3].

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модификации и обобщения

Реализации на языках программирования

Реализация на языке Си для функции${\displaystyle f(x,y)=6x^{2}+5xy}$ .

#include <stdio.h>

double func(double x, double y)
{
	return 6*x*x+5*x*y; // функция первой производной
}

int main(int argc, char** argv)
{
    int i, n; 
    double x, y, h;

    h = 0.01; // шаг
    n = 10; // количество итераций
    x = 1; // x0
    y = 1; // y0

    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        y += h * func(x, y); // вычисление yi
        x += h;
    }

    return EXIT_SUCCESS;
}

Реализация на языке Python 3.7:

# n - количество итераций, h - шаг, (x, y) - начальная точка
def Euler(n = 10, h = 0.01, x = 1, y = 1):
    for i in range(n):
        y += h * function(x, y)
        x += h
    return x, y # решение

def function(x, y):
    return 6 * x**2 + 5 * x * y # функция первой производной

print(Euler())

См. также

• Метод Рунге — Кутты

Литература

• Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956.
• Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания