WikiSort.ru - Не сортированное

Тождество Эйлера — известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

где

${\displaystyle e}$  — число е, или основание натурального логарифма,

${\displaystyle i}$  — мнимая единица,

${\displaystyle \pi }$  — пи, отношение длины окружности к длине её диаметра,

${\displaystyle 1}$  — единица, нейтральный элемент по операции умножения,

${\displaystyle 0}$  — нуль, нейтральный элемент по операции сложения.

История

Формула Эйлера, из которой сразу следует данное тождество, была опубликована Эйлером в 1740 году. Тождество произвело глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать его как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число ${\displaystyle \pi }$ — к геометрии, а число e — к математическому анализу^[1].

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

для любого вещественного ${\displaystyle x}$ . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций ${\displaystyle \sin }$ и ${\displaystyle \cos }$ взяты в радианах). В частности

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

А из того, что

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

что даёт тождество:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

В культуре

• Тождеству Эйлера посвящён фильм Такаси Коидзуми^[en] «Любимое уравнение профессора^[en]».

Примечания