WikiSort.ru - Не сортированное

Вид уравнения

Если функции ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle p}$ дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и функция ${\displaystyle q}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , то уравнение Штурма — Лиувилля вида

${\displaystyle (p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}$

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду^[1][2]

${\displaystyle -y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)}$

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию ${\displaystyle q_{1}(x)}$ называют потенциалом^[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, ${\displaystyle L}$ (суммируемыми), ${\displaystyle L_{2}}$ и других.

Виды краевых условий

• Условия Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0.}$
• Условия Неймана ${\displaystyle y'(a)=y'(b)=0}$
• Условия Робена ${\displaystyle y'(a)-hy(a)=0,\quad y'(b)+Hy(b)=0.}$
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$ .
• Распадающиеся краевые условия общего вида

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\\\end{array}}}$

• Периодические условия ${\displaystyle y(a)=y(b),\quad y'(a)=y'(b)}$ .
• Антипериодические условия ${\displaystyle y(a)=-y(b),\quad y'(a)=-y'(b)}$ .
• Общие краевые условия

${\displaystyle a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.}$

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты ${\displaystyle a_{ij}}$ .^[3][5]

Для удобства произвольный отрезок ${\displaystyle [a,\;b]}$ часто переводят в отрезок ${\displaystyle [0,l]}$ или ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

${\displaystyle Ly=-{\frac {1}{\rho (x)}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {d}{dx}}y\right]-q(x)y{\Bigr )}}$

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора^[6]

${\displaystyle p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.}$

Область определения оператора ${\displaystyle L}$ состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ функций ${\displaystyle y}$ , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора ${\displaystyle L}$ : ${\displaystyle Ly=\lambda y}$ . Если функции ${\displaystyle p,\ q,\ \rho }$ и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор ${\displaystyle L}$ является самосопряжённым в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)}$ . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом ${\displaystyle \rho (x)}$ .

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

${\displaystyle -y''=\lambda y,\qquad (2)}$

${\displaystyle y(0)=y(l)=0}$

может быть найдено в явном виде^[7]. Пусть ${\displaystyle \lambda =\rho ^{2}}$ . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном ${\displaystyle \lambda }$ имеет вид

${\displaystyle y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)}$

(в частности, при ${\displaystyle \rho =0}$ (3) дает ${\displaystyle y(x)=Ax+B}$ ). Из ${\displaystyle y(0)=0}$ следует ${\displaystyle B=0}$ . Подставляя (3) в краевое условие ${\displaystyle y(l)=0}$ , получаем ${\displaystyle A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0}$ . Так как мы ищем нетривиальные решения, то ${\displaystyle A\neq 0}$ , и мы приходим к уравнению на собственные значения

${\displaystyle {\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.}$

Его корни ${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\pi n}{l}}}$ , следовательно, искомые собственные значения имеют вид

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

а соответствующие им собственные функции суть

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle -y''+q(x)y=\lambda y\qquad (4)}$

представимо в виде линейной комбинации

${\displaystyle y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)}$

его решений ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$ , удовлетворяющих начальным условиям

${\displaystyle S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1}$ .

Решения ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по ${\displaystyle \lambda }$ при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$ . (При ${\displaystyle q(x)\equiv 0}$ ${\displaystyle S(x,\;\lambda )=\sin \rho x}$ , ${\displaystyle C(x,\;\lambda )=\cos \rho x}$ , ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\lambda }}}$ ). Подставляя (5) в краевые условия ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$ , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

${\displaystyle \Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),}$

аналитической во всей ${\displaystyle \lambda }$ -плоскости.^[4]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}_{n}=n+{\frac {c}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),\quad c={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }q(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

(в случае непрерывного на ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ потенциала ${\displaystyle q(x)}$ ).^[8] При больших ${\displaystyle n}$ собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений: ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }$
• Каждому собственному значению ${\displaystyle \lambda _{n}}$ соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция ${\displaystyle y_{n}}$ .
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$ и при выполнении условия ${\displaystyle q(x)\geqslant 0}$ все собственные значения положительны ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ .
• Собственные функции ${\displaystyle y_{n}(x)}$ образуют на ${\displaystyle [a,\;b]}$ ортогональную с весом ${\displaystyle \rho (x)}$ систему ${\displaystyle \{y_{n}(x)\}}$ :

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.}$

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$ , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями ${\displaystyle u(a)=0}$ , ${\displaystyle u'(a)=1}$ и вести пристрелку параметра ${\displaystyle \lambda }$ до выполнения правого краевого условия.^[9]
• Метод конечных разностей^[10][11]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}}$ дополняется компонентой ${\displaystyle y_{N+1}=\lambda }$ . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.^[12]
• Метод Галёркина.^[13]
• Вариационные методы.^[14]