Метод Годунова — реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Метод Годунова — это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые грани определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поясним на примере.
Рассмотрим построение численного метода Годунова первого порядка точности на примере решения системы уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, записанной в дивергентной форме:
Здесь:
Заметим, что:
Начальная система может быть записана в более компактной форме:
где:
Вместо дифференциальной формы уравнений выведем новую интегральную форму уравнений, более приспособленную для представления слабого решения. Здесь под слабым решением понимается обобщённая функция, определяемая интегральными равенствами, полученными из соответствующих дифференциальных уравнений и начальных условий задачи. Для этого выделим некоторый контрольный объём и проинтегрируем систему уравнений по этому объёму. Применим обобщённую теорему Стокса к полученному интегралу от дивергенции (при двух независимых переменных это будет теорема Грина, и формула Остроградского-Гаусса в трёхмерном пространстве). При этом введем направление обхода контура против часовой стрелки.
Отдельно, рассматривая уравнение неразрывности, получаем:
Для всей системы уравнений
Записывая систему в развернутом виде:
Произведен переход от дифференциальной формы записи исходной системы уравнений к интегральной форме. Интегральная форма записывается в виде равенства нулю интегралов по контуру (границе выделенного контрольного объёма) от векторов консервативных переменных и потоков. Контурный интеграл представляем в виде суммы интегралов по участкам (интервалам) 1-2, 2-3, 3-4, 4-1 контрольного объёма на рисунке (которого пока нет) и на каждом участке аппроксимируем интеграл с использованием метода прямоугольников как произведение подынтегрального выражения в центре интервала на длину интервала интегрирования:
с учётом равенств, справедливых для контрольного объёма, построенного по декартовой расчётной сетке:
кроме того:
находим значения вектора консервативных переменных на интервале 3-4, принадлежащем новому слою:
В данном случае величинами с полуцелыми индексами обозначены потоки сохраняемых величин через границы расчётной ячейки за время или потоки через боковые грани (2-3 и 4-1) контрольного объёма. Если скорость потока направлена в одну сторону с внешней нормалью к боковой грани, то поток отрицательный, то есть вытекает из контрольного объёма и наоборот.
В развернутом виде:
Потоки через боковые грани, и определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва.
Особенностью постановки и реализации граничных условий в методах контрольного объёма (в том числе и в методе Годунова) является необходимость задания или расчета потоков через грань контрольного объёма, совпадающую границей расчётной области. Для первой и последней ячеек расчётного слоя надо определить потоки массы, импульса и энергии через грани.
Часто для задания граничных условий вводятся «виртуальные» расчётные ячейки. Для этого слева от первой ячейки и справа от последней ячейки вводится ещё по одной дополнительной ячейке, в каждой из которых задаются такие параметры течения, чтобы при решении задачи Римана на боковой грани моделировались требуемые потоки.
Все предположения производятся относительно левой границы
Главное условие — отсутствие перетекания потока массы газа через границу, что соответствует условию нулевой скорости потока на данной грани В виртуальной ячейке тогда нужно задать следующие параметры течения:
Получаемые в задаче распада разрыва параметры течения на боковой грани реализуют нулевой поток массы через эту грань.
Этому случаю математически соответствует задание на грани значение давления . Скорость втекания можно определить по формуле
При этом:
Пусть верхнее подчеркивание обозначает параметры сверхзвукового потока, тогда, если , то
При этом в виртуальной ячейке задаются следующие параметры течения:
Шаг расчётной сетки по временной координате в методе Годунова можно определить из критерия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Применительно к рассматриваемой схеме это условие формулируется следующим образом:
Волны, возникающие в задаче распада произвольного разрыва в точке , не должны за время достигать боковых граней и и искажать автомодельное решение.
Реализация этого принципа приводит к следующим соотношениям:
где
В итоге мы берем:
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .