WikiSort.ru - Не сортированное

Обратная задача — тип задач, часто возникающий во многих разделах науки, когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика, астрономия, медицинская визуализация, компьютерная томография, дистанционное зондирование Земли, спектральный анализ, теория рассеяния и задачи по неразрушающему контролю.

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами. Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения.

Линейная обратная задача

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

${\displaystyle \ d=G(m)}$ ,

где ${\displaystyle G}$  — линейный оператор, описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle m}$ являются векторами, что позволяет использовать следующее представление задачи:

${\displaystyle \ d=Gm}$ ,

где ${\displaystyle G}$ является матрицей.

Нелинейная обратная задача

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

${\displaystyle \ d=G(m).}$

Здесь ${\displaystyle G}$ представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего ${\displaystyle m}$ в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века, из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа (Крейн, Гельфанд, Левитан).

Ссылки

• Научная Сеть >> Обратные задачи в астрофизике
• Inverse Problems Network

Международные научные журналы

• Inverse Problems (недоступная ссылка)
• Journal of Inverse and Ill-posed Problems
• Inverse Problems in Science and Engineering
• Inverse Problems and Imaging