WikiSort.ru - Не сортированное

Потенциал простого слоя

Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},}$

где ${\displaystyle S}$  — некоторая поверхность, ${\displaystyle \mu (P)}$  — функция заданная на поверхности ${\displaystyle S}$ , она называется плотностью потенциала простого слоя.

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta V(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle V=O\left({\frac {1}{r}}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. ${\displaystyle V\in C(\mathbb {R} ^{3})}$ , если ${\displaystyle S}$  — гладкая поверхность, плотность ${\displaystyle \mu (Q)}$  — ограничена и непрерывна.
4. Пусть ${\displaystyle S}$  — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle P_{0}\in S}$ , ${\displaystyle \mathbf {n} _{e}(P)}$  — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P\in S}$ . Тогда разрыв потенциала при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=4\pi \mu (P_{0}).}$

Потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:

${\displaystyle W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}}}{\frac {1}{R_{MP}}}dS_{P},}$

где ${\displaystyle S}$  — двусторонняя поверхность, ${\displaystyle \mathbf {n} _{P}}$  — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ (в том случае, когда поверхность ${\displaystyle S}$ незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), ${\displaystyle \nu (P)}$  — функция, заданная на поверхности ${\displaystyle S}$ , она называется плотностью потенциала двойного слоя.

Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:

${\displaystyle W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2}}}dS_{P},}$

где ${\displaystyle \varphi }$  — угол между внутренней нормалью к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ и вектором ${\displaystyle \mathbf {PM} }$ .

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta W(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. Пусть ${\displaystyle S}$  — поверхность Ляпунова. Потенциал двойного слоя с непрерывной и ограниченной плотностью ${\displaystyle |\nu (P)|\leq C}$ на поверхности ${\displaystyle S}$ существует, то есть является сходящимся несобственным интегралом при ${\displaystyle M\in S}$ .
4. Пусть ${\displaystyle S}$  — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle P_{0}\in S}$ . Тогда разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).}$