WikiSort.ru - Не сортированное

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ (или на римановой поверхности ${\displaystyle \Omega }$ ) — голоморфная функция ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle \Omega \backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ , которая в каждой особой точке ${\displaystyle a_{i}}$ имеет полюс (таким образом ${\displaystyle a_{i}}$  — изолированная точка множества ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ , не имеющего предельных точек в ${\displaystyle \Omega }$ , и ${\displaystyle \lim _{z\to a_{i}}|f(z)|=\infty }$ ).

Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Совокупность ${\displaystyle M(\Omega )}$ всех мероморфных функций на области ${\displaystyle \Omega }$ является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства

• Отношение ${\displaystyle \varphi /\psi }$ любых голоморфных в ${\displaystyle \Omega }$ функций, ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ , является мероморфной функцией в ${\displaystyle \Omega }$ .
• Обратно, всякая мероморфная функция в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ (и на некомпактной римановой поверхности ${\displaystyle \Omega }$ ) представляется в виде ${\displaystyle \varphi /\psi }$ , где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ голоморфны и не имеют общих нулей в ${\displaystyle \Omega }$ .

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле ${\displaystyle M(\Omega )}$ совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в ${\displaystyle \Omega }$ .

• Всякая мероморфная функция ${\displaystyle f\in M(\Omega )}$ определяет непрерывное отображение ${\displaystyle f}$ области ${\displaystyle \Omega }$ в сферу Римана ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$ .
• Обратно, всякое голоморфное отображение ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ , определяет мероморфную функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$ . При этом множество полюсов ${\displaystyle f}$ совпадает с дискретным множеством ${\displaystyle f^{-1}(\infty )}$ .

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

• На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
• На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. также

• Вычет

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.