Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899699df789491968f4d4219273141a6e54426f3)
где
- называется внешним дифференциальным оператором, а
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n}}}}+{a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+...+{a}_{{n}}(x)\varphi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081689dacab72f823a1c2a7b11f4047c89638c8)
- — внутренним дифференциальным оператором
![{P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+...+{b}_{{m}}(y)\varphi (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26bc52cb5ab78ba6c8fd9a5d3a28ccade779d0)
- — ядро интегро-дифференциального уравнения
![K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f365531dab09700aa187c84e9cf8e5aeccf6c009)
Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.
Классификация интегро-дифференциальных уравнений
Линейные интегральные уравнения
Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619dba498117392773d3f33ce153f55e9ca888ed)
Уравнения Фредгольма
Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования
Уравнения Фредгольма 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfdd30bb7ccd0c7751e5715d25ebaa0ad4e66a)
Уравнения Фредгольма 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:
Уравнения Вольтерры
Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования
Уравнения Вольтерры 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ddb4933ad61041215d9ff67124c7dfe90fc86)
Уравнения Вольтерры 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c0e0b2290de836116667d80224c63fdb3be86)
Нелинейные интегральные уравнения
Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:
Методы решения интегро-дифференциальных уравнений
См. также
Ссылки
- Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007 (недоступная ссылка)
 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виды уравнений | |||||||||||
| Типы уравнений | |||||||||||
| Краевые условия | |||||||||||
| Уравнения математической физики |
| ||||||||||
| Методы решения |
| ||||||||||
| Исследование уравнений | |||||||||||
| Связанные темы | |||||||||||
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .