Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.
Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
.
Действительно, из третьего свойства следует: , а из свойства 2 — .
Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.
Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:
для всех .
Норма оператора — число, которое определяется так:
Это определение эквивалентно следующему:
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
Особым случаем является (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .