Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.
В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волн[2][3].
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от на функцию только от [4]:
При это уравнение можно переписать в виде
.
Пусть — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:
.
Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).
Если уравнение задано в виде[5]:
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на :
откуда получится общий интеграл
Пусть
[6].
Разделяя переменные, получим
Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь
где — положительная постоянная. Отсюда
или
где — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции и . Последнее решение получается из общего решения при .
Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков [7].
Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах[8]:
Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения
Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на :
Левая часть равенства (6) является функцией только переменного , правая — только . Следовательно, обе части не зависят ни от , ни от и равны некоторой константе . Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :
Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем
Приходим к задаче задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача только при значениях , равных собственным значениям
имеет нетривиальные решения (собственные функции)
определяемые с точностью до произвольного множителя. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8)
где и — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений
где константы и могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций и :
Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида
где , и — непрерывные положительные на отрезке функции[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).
Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны
функции и разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):
Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы даёт уравнение относительно :
Функции могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .