WikiSort.ru - Не сортированное

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза, де Фриса, Де Фриса англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году^[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году^[2].

Уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0}$

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa (x-4\kappa ^{2}t-x_{0})\right]}}}$

где ${\displaystyle \kappa }$  — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, ${\displaystyle x_{0}}$  — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

${\displaystyle x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2}}}du}$

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

${\displaystyle I_{n}=\int P_{n}\left(u,{\frac {\partial u}{\partial x}},...\right)dx}$

где ${\displaystyle P_{n}\left(u,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}$  — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

${\displaystyle P_{0}=u}$

${\displaystyle P_{1}=u^{2}}$

${\displaystyle P_{2}=u^{3}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle P_{3}={\frac {1}{2}}\left(5u^{2}+5u{\frac {\partial u}{\partial x}}+\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)^{2}\right)}$

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

где параметр ${\displaystyle \nu }$ характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

Примечания

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.