WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Основные понятия

Шаблон — это множество точек с помощью которых аппроксимируются производные.
Разностная схема

Метод конечных разностей для решения эллиптических задач

Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Сравнение с методом конечных элементов

Другой метод решения эллиптических задач — метод конечных элементов, имеет как преимущества, так и недостатки перед методом конечных разностей.

Преимущества МКР	Преимущества МКЭ
Для простых задач построение разностной схемы выполняется быстрее	Метод является проекционным, то есть устойчив Позволяет работать с геометрически более сложными областями Решение сразу представляет собой функцию и значения в любой точке могут быть вычислены сразу (в МКР предварительно нужно построить сплайн)

Пример

Пусть дана одномерная эллиптическая задача:

$-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$u(0)=u(1)=0$

Построим сетку с постоянным шагом $h={\frac {1}{4}}$ . Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке $x_{i}$ будем использовать точки $\left\{x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\right\}$ . Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:

${\frac {-u_{i-1}+2u_{i}-u_{i+1}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

Учитывая краевые условия, система линейных уравнений вида $Au=b$ , для нахождения решения, будет выглядеть следующим образом:

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}~~b={\begin{pmatrix}0\\f({\frac {1}{4}})\\f({\frac {1}{2}})\\f({\frac {3}{4}})\\0\\\end{pmatrix}}$ .

Метод конечных разностей для решения нестационарных задач

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени, представляет собой итерационный процесс — на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).
Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов — производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечноэлементной постановки^[1].

Пример решения обыкновенного дифференциального уравнения

Пусть дано уравнение ${\frac {du}{dt}}=u$ с начальным условием $u(0)=1$ . Для решения воспользуемся следующими разностными схемами:

Явная схема Эйлера ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{h}}$ . Разностное уравнение: $u_{i+1}=(1+h)u_{i}$ .
Неявная схема Эйлера ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h}}$ . Разностное уравнение: $u_{i+1}={\frac {1}{1-h}}u_{i}$ .

С шагом $h=0.25$ . Точным решением является экспонента: $u=e^{t}$

Результат вычисления для нескольких первых шагов
Значение t	Точное решение	Явная схема Эйлера	Неявная схема Эйлера
$0.25$	$1.28...$	$1.25$	$1.33...$
$0.50$	$1.64...$	$1.56...$	$1.77...$
$0.75$	$2.11...$	$1.95...$	$2.36...$

При уменьшении шага точность метода увеличивается. Поскольку исходное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение, то и для неявной схемы тоже получилось линейное уравнение, из которого можно выразить (что и было сделано) решение.

Пример решения параболического уравнения

Этот пример демонстрирует, как совмещаются конечноэлементные постановки и разностные схемы. Пусть дано параболическое уравнение:

$-\Delta u+{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(\mathbf {r} ,t),~in~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{t=0}=\chi (\mathbf {r} )$

Для аппроксимации по времени, используя неявную схему Эйлера, получим:

$-\Delta u^{i+1}+{\frac {u^{i+1}-u^{i}}{\tau }}=f(\mathbf {r} ,t^{i+1})$

Поскольку значение на предыдущем слое уже известно, то, при перенесении его в правую часть, получается эллиптическое уравнение относительно $u^{i+1}$ :

$-\Delta u^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}u^{i+1}=f^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}u^{i}$

Для решения данного уравнения можно применить метод Галёркина, тогда полученная СЛАУ будет иметь следующий вид:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{i+1}=b^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}Mx^{i}$ .

Здесь: $G$ — матрица жесткости, $M$ — матрица массы, $b$ — вектор, связный с правой частью исходного уравнения, $x^{i}$ — вектор весов базисных функций на слое с номером $i$ .

Однако, решение по пространству можно искать также и с помощью разностной схемы, аналогично показанному выше примеру.

См. также

Литература

Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва: Наука, 1978. — 592 с.

Примечания

↑ Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[fem-1] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

Метод конечных разностей
Общие статьи	Метод конечных разностей Разностная схема Разностное уравнение
Виды разностных схем	Метод Эйлера Метод Рунге — Кутты Метод Адамса Интегрирование Верле Метод конечных разностей во временной области