Обыкновенные дифференциальные уравнения
Линейные уравнения n-го порядка
Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид
-
где
-
функции
и
непрерывны на отрезке
,
, краевые условия заданы линейными формами
-
— заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов
имеет ранг
, при этом краевые условия линейно независимы. Если
и
, краевая задача называется однородной, если только
— полуоднородной.[1]
Задача на собственные значения
Собственными значениями называются те значения параметра
, при которых однородная краевая задача
-
имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений
называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.
Если
— фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что
-
то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)
-
. Если
, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.[2]
Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:
- Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
- Задача о разложении по собственным функциям. Если
— собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция
может быть разложена в сходящийся ряд
-
по функциям
?[3][4]
Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:
-
-
Функция Грина
Теорема 1. Если однородная краевая задача
имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции
, непрерывной на отрезке
, существует решение полуоднородной краевой задачи
, задаваемое формулой
-
где
— функция Грина однородной краевой задачи.[5] |
С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из
раз непрерывно дифференцируемых на отрезке
функций
, удовлетворяющих краевым условиям
, и действующий по правилу
. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром
.
Функция Грина
однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:
-
непрерывна и имеет непрерывные производные по
до
-го порядка включительно для всех значений
и
из интервала
.
- При любом фиксированном
из отрезка
функция
имеет непрерывные производные
-го и
-го порядка по
в каждом из интервалов
и
, причем производная
-го порядка имеет при
скачок
.
- В каждом из интервалов
и
функция
, рассматриваемая как функция от
, удовлетворяет уравнению
и краевым условиям
.
Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.[6] |
С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу
-
Решение имеет вид
-
где
— решения краевых задач
-
[7]
Краевая задача с параметром
-
эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
-
где
-
Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра
.[8]
Системы линейных дифференциальных уравнений
Краевая задача состоит в отыскании системы функций
, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений
-
и краевым условиям
-
где
— функции, непрерывные на отрезке
,
-
матрица
-
имеет ранг
,
— заданные числа.[9]
Численные методы решения
Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.
-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
-
,
где функции
находятся как решения задачи Коши
-
-
Затем
находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию
.[18][19]
Применение
Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.[20]
Уравнения в частных производных
Обозначения
Пусть
— ограниченная область в
с кусочно-гладкой границей
,
— вектор нормали к границе
, направленный во вне области
,
— производная по направлению нормали,
. Функции
удовлетворяют условиям:
-
-
-
Здесь
— замыкание области
,
— множество функций, непрерывных в
,
— множество функций,
раз непрерывно дифференцируемых в
.
Уравнения гиперболического типа
Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции
, удовлетворяющей уравнению
-
начальным условиям
-
и граничному условию
-
Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости
-
и условие согласованности
-
.
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от
.[21]
Уравнения параболического типа
Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции
, удовлетворяющей уравнению
-
начальному условию
-
и граничному условию
-
Для существования решения необходимы следующие условия гладкости
-
и условие согласованности
-
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от
.[22]