WikiSort.ru - Не сортированное

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название — случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используется две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно, без труда можно переписать СДУ в форме Ито в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в ${\displaystyle n}$ -мерном эвклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , где определен ${\displaystyle m}$ -мерный случайный процесс ${\displaystyle B}$ , описывающий броуновское движение;

Пусть ${\displaystyle T>0}$ , и пусть

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

— измеримые функции, для которых существуют константы ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ такие, что

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$ и всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ , где

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Пусть ${\displaystyle Z}$  — случайная переменная, независимая от ${\displaystyle \sigma }$ -алгебры, генерируемой процессом ${\displaystyle B_{s}}$ , ${\displaystyle s\geq 0}$ , и имеющая конечный второй момент:

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}}$ для ${\displaystyle t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{t}=Z;}$

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и ${\displaystyle t}$ -непрерывное решение ${\displaystyle (t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )}$ , такое что ${\displaystyle X}$  — адаптированный процесс к фильтрации ${\displaystyle F_{t}^{Z}}$ , генерируемое ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle B_{s}}$ , ${\displaystyle s\leq t}$ , и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

Применение стохастических уравнений

Литература

• Adomian, George. Stochastic systems. — Orlando, FL : Academic Press Inc., 1983.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations. — Orlando, FL : Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin : Springer, 2003. — ISBN ISBN 3-540-04758-1.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science. — Chichester : Wiley, 2004. — P. 523–527.
• C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. — Singapore : World Scientific Publishing, 1998. — P. 212. — ISBN ISBN 981-02-3543-7.
• Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. — NUMDAM : http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. — ISBN In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner.

См. также

• Уравнение Фоккера — Планка
• Уравнение Ланжевена

Эта статья или раздел содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, закончив перевод. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.