Различные формулировки из функционального анализа
Далее
обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой
. Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство
.
Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть
— монотонно возрастающая последовательность функций, интегрируемых на
, то есть
-
для всех
и
.
Если их интегралы ограничены в совокупности:
-
,
Тогда:
- почти всюду существует конечный предел
(то есть функции
сходятся поточечно к некоторой функции
почти всюду на
);
- предельная функция
интегрируема на
, то есть
;
- функции
сходятся к функции
в среднем, то есть по норме пространства
;
- допустим предельный переход под знаком интеграла:
-
.
Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:
Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть
— неотрицательные функции, интегрируемые на
. Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда
-
,
тогда
- ряд
сходится почти всюду к конечному значению;
- сумма ряда
является интегрируемой функцией;
- последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства
;
- допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
-
.
Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене
, или
. Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:
Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть
— функции, интегрируемые на
. Если сходится ряд
-
,
тогда
- ряд
абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
- сумма ряда
является интегрируемой функцией;
- последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства
;
- допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
-
.
Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:
-
Примечания
- ↑ То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности
к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов
.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .