Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.
Пусть функция интегрируема на отрезке , и ограничена на нём числами и так, что . Тогда существует такое число , , что
Из неравенства по свойству монотонности интеграла имеем
Обозначив , получим требуемое утверждение. Так определённое число называют средним значением функции на отрезке , откуда и название теоремы.
Если функция непрерывна на , то в качестве и можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по известной теореме существует такая точка , что , поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде
Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как
где — первообразная функции , что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции .
Пусть функции и интегрируемы на отрезке , причём по-прежнему , а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: , либо всюду неположительна ). Тогда существует такое число , , что
Пусть неотрицательна, тогда имеем
откуда, ввиду монотонности интеграла
Если , то из этого неравенства следует, что , и утверждение теоремы выполняется при любом . В противном случае положим
Обобщение доказано. Если функция непрерывна, можно утверждать, что существует точка такая, что
(аналогично предыдущему).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .