WikiSort.ru - Не сортированное

Конечный случай

Пусть линейный функционал ${\displaystyle f\left(x\right)}$ является выпуклым на некотором выпуклом подмножестве ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ некоторого вещественного линейного пространства и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ таковы, что ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}$ . Тогда каковы бы ни были элементы ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из множества ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ , выполняется неравенство:

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})}$

или

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$ .

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}$ , оно отвечает случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}$ .

Геометрическая интерпретация

Точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ является соответствующей выпуклой комбинацией точек ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ . Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).

Геометрически очевидно, что в этом случае точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ будет лежать выше одной из прямых вида ${\displaystyle (x_{i};f(x_{i}))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))}$ . Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ лежит выше этого графика, что и означает, что ${\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}$ .

Интегральная формулировка

Для выпуклой функции ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ и интегрируемой функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi ((b-a)f(x))\,dx.}$

Вероятностная формулировка

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$  — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$  — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ , то

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}$ ,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Неравенство Гёльдера

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x^{k}}$ , где ${\displaystyle \ x>0,}$ ${\displaystyle \ k>1}$ (выпуклая функция). Имеем

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}}$ ,      ${\displaystyle \ q_{1},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+\ldots +q_{n}=1}$

Обозначим ${\displaystyle \ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}}$ , где ${\displaystyle \ p_{1},\ldots ,p_{n}}$ - произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}}$ .

Заменяя здесь ${\displaystyle \ p_{i}}$ на ${\displaystyle \ b_{i}^{\frac {k}{k-1}}}$ и ${\displaystyle \ x_{i}}$ на ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}^{\frac {1}{k-1}}}}}$ , получаем известное неравенство Гёльдера:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{\frac {k}{k-1}}\right)^{\frac {k-1}{k}}}$ .

Неравенство Коши

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}$ , или ${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$ , потенцируя получаем ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$ .

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$ .

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}$ . Положив ${\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$ и потенцируя, получаем

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}$ (выпуклая функция). Имеем ${\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$