Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел
определяется как
-
При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:
-
-
-
Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.
Наряду с понятием среднее степенное, используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.
Другие названия
Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.
По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.
Частные случаи
Средние степеней 0, ±1, 2 и
имеют собственные имена:
-
называется средним арифметическим;
(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)
-
называется средним геометрическим;
(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)
-
называется средним гармоническим.
(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)
-
называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
- В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространенными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
- Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней
и
этих чисел:
-
-
Неравенство о средних
Неравенство о средних утверждает, что для
,
причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов
.
Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная
по
неотрицательна и обращается в ноль только при
(например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.
Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
где каждое из неравенств обращается в равенство только при
.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .