Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел
— это величина вида
-
где
— непрерывная строго монотонная функция, а
— функция, обратная к
.
Примеры
При выборе определённых функций
среднее Колмогорова даёт различные классические средние:
Свойства
В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,[1] что любая средняя величина
имеет вид
, если она обладает свойствами:
- непрерывности,
- монотонности по каждому
,
- симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
- среднее от набора равных чисел равно их значению,
- замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе
на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.
- Для выпуклых или вогнутых функций справедливо неравенство Йенсена.
Приложения
Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.[2][3]
Литература
- ↑ Колмогоров А. Н. Математика и механика // Избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 136-138.
- ↑ Орлов А. И. Глава 2 // Эконометрика. — 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 596 с.
- ↑ Орлов А. И. Раздел 5.3 // Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .