WikiSort.ru - Не сортированное

При n=2.

Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая ${\displaystyle n=2}$ . Пускай нам даны два отрезка длины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ . Тогда построим окружность диаметром ${\displaystyle a+b}$ (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку ${\displaystyle M}$ на расстоянии ${\displaystyle a}$ . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник ${\displaystyle ABC}$ прямоугольный, так как угол ${\displaystyle C}$ — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, ${\displaystyle CM}$ — высота треугольника ${\displaystyle ABC}$ , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, ${\displaystyle CM={\sqrt {ab}}}$ . Аналогично, из треугольника ${\displaystyle ABC_{1}}$ получаем, что ${\displaystyle C_{1}M={\sqrt {ab}}}$ , поэтому ${\displaystyle CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab}}}$ . Так как ${\displaystyle CC_{1}}$ — хорда окружности с диаметром ${\displaystyle a+b}$ , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что ${\displaystyle 2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b}$ , или же ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}}$ . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при ${\displaystyle a=b}$ .

Обобщенное неравенство.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$

Поделим обе части неравенства на ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}}$ и произведем замену ${\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}}}$ . Тогда, при условиях${\displaystyle y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1}$ необходимо доказать, что ${\displaystyle 1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}}$ (1).

Воспользуемся методом математической индукции.

Нужно доказать, что если ${\displaystyle m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n}=1}$ , то ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+...+m_{n}\geq n+1}$ . Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для n. Пусть ${\displaystyle y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1}}$ . Тогда выполнены оба условия ${\displaystyle y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1}$ и предполагается доказанным неравенство ${\displaystyle y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n}$ или ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n}$ . Теперь заменим ${\displaystyle m_{n}m_{n+1}}$ на ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}}$ . Это возможно сделать в силу того, что ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1}$ или ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0}$ , что, очевидно выполняется, так как ${\displaystyle m_{n}(m_{n+1}-1)-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0}$ . Таким образом, неравенство доказано.