WikiSort.ru - Не сортированное

Идемпоте́нтность — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов. Пирс получил термин путём комбинации двух латинских слов: «idem» («тот же самый») и «potens» («способный»).

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём: ${\displaystyle a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=...;}$
• умножение на единицу: ${\displaystyle x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=...;}$
• модуль числа: ${\displaystyle |x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=...;}$
• поиск максимального значения: ${\displaystyle \max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y));}$
• вычисление наибольшего общего делителя: ${\displaystyle \operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x,y));}$
• сложение по модулю 2 с нулём: ${\displaystyle a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=...;}$
• нахождение остатка от деления: ${\displaystyle r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=....}$
• возведение в степень ноль: ${\displaystyle a^{0}=(a^{0})^{0}=((a^{0})^{0})^{0}...}$
• конъюнкция или дизъюнкция элемента с самим собой:${\displaystyle a=a\land a=(a\land a)\land a=((a\land a)\land a)\land a...}$ или ${\displaystyle a=a\lor a=(a\lor a)\lor a=((a\lor a)\lor a)\lor a...}$

Элемент

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: ${\displaystyle e^{2}=e.}$ Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент ${\displaystyle e}$ содержит идемпотентный элемент ${\displaystyle f}$ (обозначается ${\displaystyle e\geqslant f}$ ), если ${\displaystyle ef=e=fe.}$ Отношение ${\displaystyle \geqslant }$ является отношением частичного порядка в множестве ${\displaystyle E}$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве ${\displaystyle E.}$

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ называются ортогональными, если ${\displaystyle uv=0=vu.}$

Операция

Литература

• Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency", in Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, с. 1–49, <http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf> 
• Idempotent. Encyclopedia of Mathematics. Springer (Translation of Soviet Mat. Enc.).
• Иванова О. А. Идемпотент // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.