В этой статье отсутствует преамбула. |
Арифметико-геометрическое среднее (АГС) величин a и b — предел последовательности , , где:
имеют при один и тот же предел:[1][2]
АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]
Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин x и y - (общий) предел (убывающей) последовательности и (возрастающей) последовательности , где , и .
МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.[4]
МАГС выразимо посредством АГС, как повествуется здесь Modified Arithmetic-Geometric Mean. Такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса с полуосями и :
где — АГС чисел и , а — МАГС чисел и . Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]
Можно воспользоваться этим фактом, чтобы вычислить число . Например, по формуле Гаусса — Саламина:[5]
где , , .
В то же время, если взять
то
где есть полный эллиптический интеграл
Более лаконично, выражается по формуле
где — АГС 1 и , а — МАГС 1 и .[3]
Пользуясь этим свойством АГС, а также преобразованиями, восходящими к Ландену,[6] Брент предложил[7] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ( ). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами — см., например, книгу Дж. и П. Борвайнов «Пи и АГС».[8]
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .