Закон Бернулли[1] (также уравнение Бернулли[2][3], теорема Бернулли[4][5] или интеграл Бернулли[2][6][7]) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости возрастает, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости[2] (то есть без вязкости и теплопроводности).
Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли[K 1]. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году[12].
Полное давление | |
---|---|
Размерность | |
Единицы измерения | |
СИ | Дж/м3=Па |
СГС | эрг/см3 |
Примечания | |
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости. |
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
Здесь
Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина[13]. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями и , действует сила , а справа — противоположного направления сила . Скорость и давление в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние , а правая — на расстояние . Работа, совершённая силами давления, равна:
В начале интервала времени объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями и , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: . Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента и левого голубого элемента .
Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: После этого равенство даёт: , или .
Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление» и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.
Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].
Вдоль горизонтальной трубы координата постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].
Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].
Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
Напор[19] | |
---|---|
Размерность | |
Единицы измерения | |
СИ | метр |
Примечания | |
Полное давление, делённое на удельный вес. |
Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].
Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: , что позволяет ввести функцию давления[22] В этих предположениях величина
постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом заменяется на потенциал массовой силы .
Уравнение Громеки — Лэмба[23][24] (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:
В силу сделанных предположений и (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:
Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор касательный к линии тока, даёт:
так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению , а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости , интеграл Бернулли в виде [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].
Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон[26]
то уравнение Бернулли выражается так[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):
С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за тогда скорость истечения выражается через внешнее давление по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:
Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости:
где — энтальпия единицы массы, — гравитационный потенциал (равный для однородной силы тяжести), — энтропия единицы массы.
1. Уравнение Эйлера для стационарного ( ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести[29] имеет вид:
где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал (для однородного поля ), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.
2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор касательный к линии тока даёт:
так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению
3. Термодинамическое дифференциальное соотношение
где — энтальпии единицы массы, — температура и — энтропия единицы массы, даёт:
В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию[30] ( ), поэтому вдоль линии тока:
Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбин. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющих удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс) и например давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежат на некоторой вертикальной линии ( !). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скорости[31].
Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].
Эта статья выставлена на рецензию. Пожалуйста, выскажите своё мнение о ней на подстранице рецензии. |
Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .