WikiSort.ru - Не сортированное

Фо́рмула Гаусса — Остроградского — математическая формула, которая выражает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\!\!\;\subset \!\!\supset \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,}$

то есть интеграл от дивергенции векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , распространённый по некоторому объёму ${\displaystyle V}$ , равен потоку вектора через поверхность ${\displaystyle S}$ , ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )s,}$

где ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle s}$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. ${\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)}$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью^[1].

Современная запись формулы:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,}$

где ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}$ , ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dx}{dz}}$ и ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}$ . В современной записи ${\displaystyle \omega =d\Omega }$  — элемент объёма, ${\displaystyle s=dS}$  — элемент поверхности^[1].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762^[2].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики^[3].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[3]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от ${\displaystyle n}$ -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации ${\displaystyle n}$ -кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Примечания