WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$  — пространство с мерой и мера ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ -конечна. Тогда если мера ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ абсолютно непрерывна относительно ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\nu \ll \mu )}$ , то существует измеримая функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ , такая что

${\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},}$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция ${\displaystyle f}$ , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры ${\displaystyle \nu }$ относительно меры ${\displaystyle \mu }$ . Пишут:

  ${\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}.}$

  • Если ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})=\left(\mathbb {R} ^{k},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k})\right)}$  — ${\displaystyle k}$ -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, ${\displaystyle \nu =\mathbb {P} ^{X}}$  — распределение некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$ , а ${\displaystyle \mu =m}$  — мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ , то производная Радона — Никодима меры ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ относительно меры ${\displaystyle m}$ называется плотностью распределения случайной величины ${\displaystyle X}$ .

Свойства

• Пусть ${\displaystyle \lambda ,\;\mu ,\;\nu }$  — ${\displaystyle \sigma }$ -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})}$ . Тогда если ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$ и ${\displaystyle \nu \ll \lambda }$ , то

${\displaystyle {\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.}$

• Пусть ${\displaystyle \nu \ll \mu \ll \lambda }$ . Тогда

${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}}$ выполнено ${\displaystyle \lambda }$ -почти всюду.

• Пусть ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$ и ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$  — измеримая функция, интегрируемая относительно меры ${\displaystyle \mu }$ , то

${\displaystyle \int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).}$

• Пусть ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ и ${\displaystyle \nu \ll \mu }$ . Тогда

${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}$

• Пусть ${\displaystyle \nu }$  — заряд. Тогда

${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}$

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также

• Никодим, Отто;
• Радон, Иоганн.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.