Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:
-
для векторной функции
имеющей в некоторой точке
все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций
).
Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 3298 дней] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].
- Часто используются следующие обозначения якобиана:
-
,или
Геометрическая интерпретация
Если функции
определяют преобразование координат
, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] «элементарных параллелепипедов», натянутых на
и на
при равенстве произведений
.
Применение
- Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
- Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
- Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат
преобразуется как
-
-
- (формула замены переменных в n-мерном интеграле).
Примеры
Пример 1. Переход элементарной площади
от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):
-
-
Матрица Якоби имеет следующий вид
-
А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
Пример 2. Переход элементарного объёма
от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :
-
-
-
Матрица Якоби имеет следующий вид
-
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
См. также
- Применение в физике