Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.
Пусть — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на задана функция . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за площадь поверхности , рассмотрим сумму
Тогда число называется пределом сумм , если
Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле
где:
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции и интегрируемы по областям . Тогда:
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причём точка изменяется в области на плоскости , ограниченной кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку , вычислим значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
распространённым на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость .
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определённые в точках поверхности .
где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .