WikiSort.ru - Не сортированное

Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции ${\displaystyle f(x)}$ называют такую ${\displaystyle F(x)}$ , производная которой (на всей области определения) равна ${\displaystyle f}$ , то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ является первообразной ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ .

Если ${\displaystyle F}$  — первообразная ${\displaystyle f}$ , то любая функция, полученная из ${\displaystyle F}$  добавлением константы: ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ тоже является первообразной ${\displaystyle f}$ . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет целое семейство первообразных ${\displaystyle F(x)+C}$ . Верно и обратное: если ${\displaystyle F}$  — первообразная ${\displaystyle f}$ , и функция ${\displaystyle f}$ определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная ${\displaystyle G}$ отличается от ${\displaystyle F}$ на константу: всегда существует число ${\displaystyle C}$ , такое что ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ для всех ${\displaystyle x}$ . Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения ${\displaystyle C}$ . Число ${\displaystyle C}$ называют постоянной интегрирования.

Например, семейство первообразных функции ${\displaystyle x^{2}}$ является ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$ , где ${\displaystyle C}$  — любое число.

Если область определения функции ${\displaystyle f}$ не является интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу. Так, например, семейством первообразных функции ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}$ являются функции ${\displaystyle -{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}}$ , где ${\displaystyle {\hat {C}}}$ является константой при ${\displaystyle x>0}$ и, вообще говоря, другой константой при ${\displaystyle x<0}$ :

${\displaystyle {\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ если }}x<0\\C_{2},{\text{ если }}x>0\end{aligned}}\right.}$

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если ${\displaystyle F}$  — первообразная интегрируемой функции ${\displaystyle f}$ , то:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции ${\displaystyle f(x)}$ называют неопределённым интегралом (общим интегралом) ${\displaystyle f}$ и записывают в виде интеграла без указания пределов:

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

Каждая непрерывная функция ${\displaystyle f}$ имеет первообразную ${\displaystyle F}$ , одна из которых представляется в виде интеграла от ${\displaystyle f}$ с переменным верхним пределом:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, ${\displaystyle f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle f(0)=0}$ не непрерывна при ${\displaystyle x=0}$ , но имеет первообразную ${\displaystyle F(x)=x^{2}sin{\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle F(0)=0}$ .

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx}$ .

Свойства первообразной

• Первообразная суммы равна сумме первообразных
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции ${\displaystyle f}$ является непрерывность ${\displaystyle f}$ на этом отрезке
• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции ${\displaystyle f}$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
• некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
• если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, ${\displaystyle \exp \left(-x^{2}\right)}$ ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной ${\displaystyle F'}$ и выполнения всюду равенства ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ , иногда в определении используют обобщения производной.

Примечания

Ссылки

• Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов
• Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов

См. также

• Список интегралов элементарных функций

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.