WikiSort.ru - Не сортированное

Определение

Пусть на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ определена вещественнозначная функция ${\displaystyle f}$ . Рассмотрим разбиение

${\displaystyle \tau =\left\{{{x}_{k}}\right\}_{k=0}^{n}:a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b}$ .

Введем обозначения

${\displaystyle {{m}_{k}}=\inf \left\{f\left(x\right):x\in \left[{{x}_{k-1}},{{x}_{k}}\right]\right\},k={\overline {1,n}}}$ ,

${\displaystyle {{M}_{k}}=\sup \left\{f\left(x\right):x\in \left[{{x}_{k-1}},{{x}_{k}}\right]\right\},k={\overline {1,n}}}$ .

Наконец, рассмотрим суммы

${\displaystyle s\left(f,\tau \right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{m}_{k}}\left({{x}_{k}}-{{x}_{k-1}}\right)}}$  — нижняя сумма Дарбу,

${\displaystyle S\left(f,\tau \right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{M}_{k}}\left({{x}_{k}}-{{x}_{k-1}}\right)}}$  — верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм Дарбу

• Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.

${\displaystyle \forall \tau \ s\left(f,\tau \right)\leq S\left(f,\tau \right)}$ ;

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться. Верхняя же сумма Дарбу при добавлении точек к имеющемуся разбиению никак не может увеличиться.

${\displaystyle \forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}:{{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}\ \left\{{\begin{aligned}&s\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\leq s\left(f,{{\tau }_{2}}\right)\\&S\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\geq S\left(f,{{\tau }_{2}}\right)\\\end{aligned}}\right.}$ ,

${\displaystyle {{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}}$ означает, что ${\displaystyle {{\tau }_{2}}}$ есть измельчение разбиения ${\displaystyle {{\tau }_{1}}}$ ;

• Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

${\displaystyle \forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}\ s\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\leq S\left(f,{{\tau }_{2}}\right)}$ ,

Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.

• Пусть ${\displaystyle {{I}^{*}}\left(f\right)}$ и ${\displaystyle {{I}_{*}}\left(f\right)}$  — верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда

${\displaystyle \forall \tau \ s\left(f,\tau \right)\leq {{I}_{*}}\left(f\right)\leq {{I}^{*}}\left(f\right)\leq S\left(f,\tau \right)}$ ;

• Пусть ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\zeta )}$  — интегральная сумма. Тогда ${\displaystyle \forall \tau }$

${\displaystyle s(f,\tau )=\inf _{\zeta }\sigma (f,\tau ,\zeta )}$ ,

${\displaystyle S(f,\tau )=\sup _{\zeta }\sigma (f,\tau ,\zeta )}$ .