WikiSort.ru - Не сортированное

Списки интегралов
	Элементарные функции ; Рациональные функции ; Иррациональные функции ; Тригонометрические функции ; Гиперболические функции ; Экспоненциальные функции ; Логарифмические функции ; Обратные тригонометрические функции ; Обратные гиперболические функции

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от $e^{x^{2}}$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Правила интегрирования функций

\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx

\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx

\int [f(x)-g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,df(x)

\int f(ax+b)\,dx={1 \over a}F(ax+b)\,+C

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

\int \!0\,dx=C

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\\ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C=-{1 \over a}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C

Доказательство

Сделаем замену $x=a\operatorname {tg} t$ , получим

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+(a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a}+C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

\int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C

(«высокий логарифм»)

Логарифмы

\int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C

\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|+C

\int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C=x{\frac {\ln {x}-1}{\ln b}}+C

Экспоненциальные функции

\int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C

\int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C

Иррациональные функции

\int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C

\int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C

\int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}+a}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}+a}}}\right|+C

(«длинный логарифм»)

\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|)+C

Доказательство

Пусть $a<0$ , предположим также, что $x\geq 0$ . Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену $x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t-t)+C_{1}\end{aligned}}$

Но

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x{{\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Поэтому

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Если $x<0$ , то заменой $x=-t,t>0$ сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же $a>0$ , то делаем замену $x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t$ и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю^[1].

Тригонометрические функции

\int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C

\int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C

\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C

Доказательство

$\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\int {\frac {d(\cos x)}{\cos x}}=-\ln |\cos x|+C$

\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C

Доказательство

$\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}dx=\int {\frac {d(\sin x)}{\sin x}}=\ln |\sin x|+C$

\int \!\sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} \,{x}\right|}+C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+C

\int \!\sec ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C

\int \!\operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C

\int \!\sec {x}\,\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\sec {x}+C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C

\int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C

\int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2

\int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2

\int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C

Гиперболические функции

\int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C

\int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C

\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{2}\,x}}=\operatorname {th} \,x+C

\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{2}\,x}}=-\operatorname {cth} \,x+C

\int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln |\operatorname {ch} \,x|+C

\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} \,{x \over 2}\right|+C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C

также

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,(e^{x})+C

также

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C

\int \operatorname {cth} \,x\,dx=\ln |\operatorname {sh} \,x|+C

Доказательства

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$ :

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2}x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ : $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x}}=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ .

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$ :

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^{2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \over 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C\end{aligned}}

Специальные функции

\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x

\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x

\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x

\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)

Примечания

↑ Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.

Библиография

Книги

Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

Таблицы интегралов

Вычисление интегралов

The Integrator (на Wolfram Research)
Империя Чисел

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.