WikiSort.ru - Не сортированное

В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.

Обозначения

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _{i}))}

,

$f(x)$ — интегрируемая функция;
$w_{i}$ — веса интегрирования;
$\xi$ — система координат мастер-элемента;
$J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}$ — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования $\Omega$ будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные $x,y,z$ , для обозначения координат мастер-элемента — $\xi ,\eta ,\zeta$ .

Одномерный интеграл

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

Область интегрирования: отрезок $[x_{0},x_{1}]$ ;
Мастер-элемент: отрезок $[-1,1]$ ;
Переход на мастер-элемент: $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$ ;
Переход с мастер-элемента: $x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}$ ;
Якобиан: $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$2$	Метод прямоугольников
2	2	1	$-1$	$1$	Метод трапеций
2	2	1	$1$	$1$	Метод трапеций
3	2	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Метод Гаусса-2
3	2	3	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Метод Гаусса-2
4	3	3	$-1$	${\frac {1}{3}}$	Метод Симпсона
			$0$	${\frac {4}{3}}$
			$1$	${\frac {1}{3}}$
5	3	5	$-{\sqrt {\frac {3}{5}}}$	${\frac {5}{9}}$	Метод Гаусса-3
			$0$	${\frac {8}{9}}$
			${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	${\frac {5}{9}}$
6	4	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Метод Гаусса-4
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	$0$	${\frac {128}{225}}$	Метод Гаусса-5
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Двухмерный интеграл

Квадратный мастер-элемент

Область интегрирования: прямоугольник $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]$
Мастер-элемент: квадрат $[-1,1]\times [-1,1]$
Переход на мастер-элемент:

\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

;

Переход с мастер-элемента:

x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}

;

Якобиан: $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}$ .

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$0$	$4$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	4	1	$-1$	$-1$	${\frac {1}{4}}$	Метод трапеций
			$-1$	$1$	${\frac {1}{4}}$

			$1$	$-1$	${\frac {1}{4}}$
$1$	$1$	${\frac {1}{4}}$
3	4	3	$-{\frac {1}{3}}$	$-{\frac {1}{3}}$	$1$	Метод Гаусса-2
			$-{\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$1$

			${\frac {1}{3}}$	$-{\frac {1}{3}}$	$1$
${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$1$
4	12	7	$-c$	$0$	$w_{c}$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $c={\sqrt {\frac {6}{7}}}$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ Число узлов минимально^[1].
			$c$	$0$	$w_{c}$

			$0$	$-c$	$w_{c}$

			$0$	$c$	$w_{c}$

			$-a$	$-a$	$w_{a}$

			$a$	$-a$	$w_{a}$

			$-a$	$a$	$w_{a}$
$a$	$a$	$w_{a}$
$-b$	$-b$	$w_{b}$
$b$	$-b$	$w_{b}$
$-b$	$b$	$w_{b}$
$b$	$b$	$w_{b}$

Треугольный мастер-элемент

Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ ;
Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами $(0,0),(1,0),(0,1)$ .

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ .

\lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица $D$ :

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}

Матрица коэффициентов обратна к $D$ : $\mathrm {A} =D^{-1}$ .

Переход на мастер элемент:

\xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)

\eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)

Переход с мастер элемента:

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=\mathrm {A} {\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}

Якобиан : $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$	Метод среднего
2	3	1	${\frac {1}{2}}$	$0$	${\frac {1}{6}}$	-
			$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{6}}$

${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{6}}$
2	3	2	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	Метод Гаусса-3
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$

${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
4	4	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$-{\frac {9}{32}}$	Метод Гаусса-4
			${\frac {3}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$

			${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
${\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
5	7	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {9}{40}}$	Метод Ньютона-Котеса (Newton-Cotes (англ.))
			${\frac {1}{2}}$	$0$	${\frac {1}{15}}$

			${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{15}}$

			$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{15}}$

$1$	$0$	${\frac {1}{40}}$
$0$	$1$	${\frac {1}{40}}$
$0$	$0$	${\frac {1}{40}}$

Трёхмерный интеграл

Кубический мастер-элемент

Область интегрирования: параллелепипед $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]$
Мастер-элемент: куб $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$
Переход на мастер-элемент:

\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1

Переход с мастер-элемента:

x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}

;

z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}

;

Якобиан: $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}$ .

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника^{[уточнить]}, но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$0$	$0$	$8$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	8	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Метод Гаусса-2
			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$

			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$

			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$

			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
3	14	5	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$	Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.^[2]
			${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	${\frac {320}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.

Порядок: 7, число точек: 34

Номер точки	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	$a$	$0$	$0$	$w_{1}$	$a={\sqrt {\frac {6}{7}}}$ , $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ , $c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ , $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$ , $w_{2}={\frac {343}{3645}}$ , $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$ , $w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-a$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$a$	$0$	$w_{1}$
4	$0$	$-a$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$a$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$-a$	$w_{1}$
7	$a$	$a$	$0$	$w_{2}$
8	$a$	$-a$	$0$	$w_{2}$
9	$-a$	$a$	$0$	$w_{2}$
10	$-a$	$-a$	$0$	$w_{2}$
11	$a$	$0$	$a$	$w_{2}$
12	$a$	$0$	$-a$	$w_{2}$
13	$-a$	$0$	$a$	$w_{2}$
14	$-a$	$0$	$-a$	$w_{2}$
15	$0$	$a$	$a$	$w_{2}$
16	$0$	$a$	$-a$	$w_{2}$
17	$0$	$-a$	$a$	$w_{2}$
18	$0$	$-a$	$-a$	$w_{2}$
19	$b$	$b$	$b$	$w_{3}$
20	$b$	$b$	$-b$	$w_{3}$
21	$b$	$-b$	$b$	$w_{3}$
22	$b$	$-b$	$-b$	$w_{3}$
23	$-b$	$b$	$b$	$w_{3}$
24	$-b$	$b$	$-b$	$w_{3}$
25	$-b$	$-b$	$b$	$w_{3}$
26	$-b$	$-b$	$-b$	$w_{3}$
27	$c$	$c$	$c$	$w_{4}$
28	$c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
29	$c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
30	$c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$
31	$-c$	$c$	$c$	$w_{4}$
32	$-c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
33	$-c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$

Тетраэдральный мастер-элемент

Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})$ .
Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ .

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}$ :

\lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}

Матрица коэффициентов определяется, как: $\mathrm {A} =D^{-1}$ , где

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}

Переход на мастер-элемент:

\xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)

\eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)

\zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)

Переход с мастер-элемента:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}

Якобиан : $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{6}}$	Метод среднего
2	4	3	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Метод Гаусса-4
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$

			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	11	4	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	$-{\frac {74}{5625}}$	Метод Гаусса-11
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$

			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$

			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {343}{45000}}$

			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$

			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$

${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$

Примечания

↑ Мысовских, 1981, с. 285.
↑ Мысовских, 1981, с. 280.

Литература

Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Ссылки

Numerical Integration over the Triangular Domain (англ.) (недоступная ссылка). — Интегрирование по треугольному элементу. Проверено 12 июня 2014. Архивировано 14 июля 2014 года.
Numerical Integration over the Tetrahedral Domain (англ.) (недоступная ссылка). — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Проверено 12 июня 2014. Архивировано 14 июля 2014 года.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2026
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_c5180e5ece74fd5d-1] Мысовских, 1981, с. 285.

[_c5180e5ece74fd58-2] Мысовских, 1981, с. 280.